ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение задач из "Краткий курс теоретической механики 1970 " Чтобы довести решение каждой конкретной задачи до конца, надо определить значения постоянных С1 и С . Для этого используются так называемые начальные условия. [c.251] Изучение всякого движения мы начинаем с некоторого определенного момента времени, называемого начальным моментом. От этого момента мы будем отсчитывать время движения, считая, что в начальный момент = 0. Обычно за начальный принимают момент начала движения под действием заданных сил. Положение, которое точка занимает в начальный момент, называется начальным положением, а ее скорость в этот момент — начальной скоростью (начальную скорость точка может иметь или потому, что до момента t = 0 она двигалась по инерции, или в результате действия на нее до момента = О каких-то других сил). Чтобы решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, т. е. положение и скорость точки в начальный момент. [c.251] Поясним все сказанное на простейшем конкретном примере. [c.251] Полученный результат и представляет собою для данной задачи общее решение уравнения (9) в виде, соответствующем равенству (10). [c.252] Сделанные здесь общие указания относятся и к случаю криво-лпиейного движения. [c.254] Рассмотрим три конкретные задачи, в которых сила зависит от времени, от расстояния и от скорости движения точки. [c.254] Задача 98. Груз весом Р начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы Я, величина которой растет пропорционально времени по закону Я=к1. Найти закон движения груза. [c.254] Таким образом, проходи.мый грузо.м путь будет расти пропорционально кубу времени. [c.254] Задача 99. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, определить, в течение какого промежутка времени тело пройдет по прорытому сквозь Землю вдоль хорды АВ каналу от его начала А до конца В (рис. 244). При подсчете считать радиус Земли Ц = 6310 км. [c.254] Следовательно, тело будет совершать в канале АВ гармонические колебания с амплитудой а. [c.256] Этот очень интересный результат породил ряд (пока еще фантастических) проектов прорытия такого канала. [c.256] например, 2а = 0,1 = 637 (приблизительно расстояние от Москвы до Ленинграда), то 395 м/сек = 1422 км/час. [c.256] Колебания, совершаемые материальной точкой под действием силы, пропорциональной расстоянию, будут подробнее изучены в главе XXI. Там будет рассмотрен другой метод интегрирования получающихся в этом случае дифференциальных уравнений движения. [c.256] Изображаем в произвольном положении лодку и действующие на нее силы Р, N п К. [c.256] Примечание. Никакие другие силы на лодку не действуют. Сила, сообщившая лодке толчок, действовала на лодку до момента = 0. Результат этого действия учитывается заданием начальной скорости v , которую сила за время толчка сообщила лодке (см. 104). Чтобы правильно определять, какие силы действительно действуют на тело при его движении, надо помнить, что сила есть результат взаимодействия данного тела с другима телами. В данном случае сила тяжести Р является результатом действия на лодку Земли, а силы R и N—результат действия на лодку воды. Никакие другие материальные тела на лодку при ее движении не действуют, значит, никаких других действующих сил нет. Мы обращаем внимание на этот вопрос, так как он часто является источником ош ибок при решении задач. [c.257] Проинтегрируем это уравнение, беря от обеих его частей после разделения пере.менных соответствующие определенные интегралы. При этом нижним пределом каждого из интегралов будет значение переменного интегрирования в начальный момент, а верхним — значение того же переменного Б произвольный момент времени. [c.257] Полагая V — 0,5V(), найдем искомый путь л 1 = = 1,1 м. [c.258] Чтобы найти путь, пройденный лодкой до остановки, следует в равенстве (б) положить 0 = 0. Тогда получим, что Хг = —- = 2,2 м. [c.258] Определяя время движения до остановки, мы из равенства (а) найдем, что при и= 0 время —оо. Это означает, что при принятом законе сопротивления (/ ==[хо) лодка будет к своему конечному положению (определяемому координатой х ) приближаться асимптотически. Фактически же время движения лодки до остановки будет конечным, так как с уменьшением скорости закон сопротивления становится другим и соответственно изменяется вид зависимости V от t (см., например, задачу 110 в 118). [c.258] Другой важный пример движения под действием силы, зависящей от скорости, рассмотрен в следующем параграфе. [c.258] Вернуться к основной статье