ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Три координаты и три проекции точки из "Начертательная геометрия " К ординатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. [c.13] В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат х, у к г. [c.13] Если ж = 5, / = 4 и г == 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта точка А, все координаты которой положительны, находится в первом октанте. [c.13] Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рис. 10) рекомендуется осуществлять с помощью координатного параллелепипеда, который в нашем случае всегда будет прямоугольным. Прежде всего, на осях координат от точки О откладывают отрезки, соответственно равные 5, 4 и 6 единицам длины. На этих отрезках Оа , ООу, Оа ), как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Легко заметить, что для определения точки А достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например Оа , а а и аА или Оа , а а иаА я т. д. [c.14] Эти ребра образуют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется соответствующей координатой точки. [c.14] Однако построение параллелепипеда позволяет определить не только точку А, но и все три ее ортогональные проекции. [c.14] Лучами, проектирующими точку на плоскости Н, V я Ш, являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А. [c.14] Каждая из ортогональных проекций точки А, будучи расположена на плоскости, определяется только двумя координатами. [c.14] горизонтальная проекция а определяется координатами X я у, фронтальная проекция а — координатами х я г, профильная проекция а — координатами г/ и 2. Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно заданию точки тремя координатами. [c.14] На эпюре (рис. 11), где все плоскости проекций совмещены, проекции а и а окажутся на одном перпендикуляре к оси Ох, проекции а и а будут расположены на одном перпендикуляре к оси Ог. [c.15] Что касается проекций а и а , то и они связаны прямыми ойу и а а , перпендикулярными к оси Оу. Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отрезок аа не может быть продолжением отрезка а а . [c.15] Построение проекций точки Л(5,4,6) на эпюре по заданным координатам производят в такой последовательности прежде всего, на оси абсцисс от начала координат откладывают отрезок Оа = х (в нашем случае х = 5), затем через точку проводят перпендикуляр к оси Ох, на котором с учетом знаков откладываем отрезки а а — у (получаем а) и а а г (получаем а ). Остается построить профильную проек цию точки а . Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси Ог, то через а проводят прямую а а ] Ог. [c.15] Рассматривая координатный параллелепипед (см. рис. 10), ребра которого а а = Ойу = а 1 = у, заключаем, что искомое расстояние а а равно у. Отрезок а/1 откладывают вправо от оси Ог, если ууО и влево, если уф. [c.15] Проследим за тем, какие изменения произойдут на эпюре, когда точка начнет менять свое положение в пространстве. [c.15] например, все та же точка А (5,4,6) станет перемещаться по прямой, перпендикулярной к плоскости V. При таком движении будет меняться только одна координата у, показывающая расстояние от точки до плоскости V. Постоянными будут оставаться координаты д и 2, а проекция точки, определяемая этими координатами, т. е. а , не изменит своего положения. [c.15] Рассмотрим еще один пример перемещения точки в пространстве. Пусть точка В (рис. 14 и 15) двигается по вертикали вниз. [c.16] Наглядные изображения и эпюры точек, когда они расположены в других октантах, представлены на рис. 16, где номер точки соответствует тому октанту, в котором она находится. [c.17] На рис. 16 и последующих эпюрах мы не станем обозначать буквами точки пересечения координатных осей с линиями проекционной связи. Это в какой-то мере простит наши чертежи. [c.17] Если изображение предмета дано в двух проекциях и когда расстояние от предмета до плоскости не имеет значения, то на эпюре мы будем опускать обозначение начала координат. [c.18] В дальнейшем встретятся эпюры нбез координатных осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображение предмета, а не то, как он задан относительно плоскостей проекций. [c.18] Вернуться к основной статье