ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нелинейные колебания Метод усреднения из "Задачи по теоретической механике " В теории дифференциальных уравнений точка t = Q называется правильной особенностью. [c.151] х = а os (со / — а) ----— / sin ы,/. [c.153] Исследуем три частных случая переходного режима [62]. [c.155] Функция л (г) изображена на рис. 3.7. [c.156] Рассмотрим три случая. [c.157] Очевидно, спектры комплексных функций /(/) н W(t) не совпадают. [c.160] Следовательно, связанные осцилляторы являются полосовым фильтром — ослабляют влияние внешней силы частотой лежащей вне интервала (0J2, (Oi) [62]. Отметим чрезвычайно важный эффект сужения резонансной кривой. Определим ширину резонансной кривой С ((о) как интервал частот Л(о = (й—(о , в пределах которого значение амплитуды не опускается ниже величины 1/V2 С (о)). Для изолированного осциллятора A(Oti =v- Однако при возбуждении двух мод ширина резонансной кривой Дсоп = = 7/2. [c.166] Из (1) следует, что при - сю величина (х ) = квТ/гшо. Это соотношение является следствием теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы. [c.166] Метод усреднения — широко применяемый асимптотический метод, позволяющий строить решения сложных дифференциальных уравнений (77—80]. [c.167] Суть метода состоит в том, что исходную систему можно заменить более простой усредненной системой. Наша задача — найти равномерно пригодное асимптотическое разложение решения. Асимптотическим приближением по параметру е решения x(t, е) называется такая функция x t, е), что разность x(t, е)—x(t, е), называемая остаточным членом, мала (в некоторой норме) в заданной области изменения t, если параметр e- l. Одним из достоинств метода усреднения является то, что уже в первом порядке по е решения исходной и усредненной систем, совпадающие при t to, асимптотически близки на интервале /—В отличие от метода усреднения теория возмущений приводит к неравномерно пригодному разложению решения [78]. Ограничимся далее нахождением решения в первом приближении метода. [c.167] Рассмотрим некоторые частные случаи. [c.168] Сопоставим приближение и точное выражения для периода колебаний математического маятника. [c.170] Вернуться к основной статье