ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теоремы о неустойчивости движения из "Введение в теорию устойчивости движения " Ляпунову принадлежат две теоремы о неустойчивости движения. В 30-х годах нашего столетия Четаев обобщил эти теоремы и доказал теорему, из которой как частный случай вытекают теоремы Ляпунова. Поэтому мы начнем с ия.11оя ения теоремы Четаева. [c.49] Если функция V определенно-положительна, то областью V О будет вся окрестность нуля. Для отрицательных функций V область F О не существует. [c.49] Теорема Четаева. сли дифференциальные уравнения возмущенного движения позволяют найти функцию V (х), для которой в сколь угодно малой окрестности нуля существует область F О, и если производная V функции F, вычисленная в силу этих уравнений, положительна во всех точках области V О, то певозмущенное движение неустойчиво. [c.49] Отсюда следует, что с течением времени функция V неограниченно возрастает. Противоречивость полученных для V неравенств возникла из сделанного предпо.1о-жения, что изображающая точка не выйдет за пределы сферы 8. Таким образом, это предположение неверное, что доказывает теорему. [c.51] Действительно, по условию теоремы Ляпунова производная определенно-положительна во всех точках окрестности нуля (не нарушая общности, можно считать, что 0) и, следовательно, она определенно-положительна и в той области, в которой функция V принимает положительные значения (область V 0). Таким образом, выполнены все условия теоремы Четаева, что служит доказательством теоремы Ляпунова. [c.51] Другое ослабление требований, налагаемых на производную V, содержится в следующей теореме. [c.51] Геометрическое обоснование этой теоремы в значительной Boei части совпадает с аналогичным обоснованием теоремы И. Н, Красовского об асимптотической устойчивости — см. 2.3. Действительно, возьмем начальную точку М (Xq) такую, чтобы в ней выполнялось условие V (хд) 0. Так как в этой точке Fo О и Г 0 (предполагаем вначале, что М не принадлежит многообразию К), то функция V будет возрастать, а изображающая точка М будет удаляться от начала координат. Если при своем движении изображающая точка М попадет на К, или Л/о принадленсит К, то вскоре она дол жна будет покинуть это многообразие (оно не содержит целых траекторий) и снова начнется удаление точки М от начала координат. Строгое доказательство этой теоремы можно найти в книге Н. Н. Красовского [27]. [c.52] Заметим, что выбранная в этом примере функция V не удовлетворяет условиям теорем Ляпунова и Красовского (производная V меняет знак при изменении знака xi). [c.52] Вернуться к основной статье