ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача об обтекании шара из "Динамика вязкой несжимаемой жидкости " Обратимся теперь к вопросу о построении решений дифференциальных уравнений (2.4) и (2.10). [c.242] Полиномы Лежандра обладают свойством ортогональности в интервале т — — 1 (О = я) и т = 1 (Й = 0), т. е. [c.243] Следовательно, для определения силы сопротивления жидкости движению шара необходимо найти лишь коэффициент первого слагаемого ряда (5.14), пропорциональный мощности источника (5.7). [c.244] Пользуясь общими выражениями (5.14) для а и (5.23) для у, можно, найти по формулам (5.2) компоненты скоростей частиц жидкости. Эти выражения для скоростей окажутся весьма сложными, и точное удовлетворение граничных условий (5.4) прилипания потребует длительных вычислений. Поэтому мы прибегнем к приближённому способу удовлетворения этих условий. [c.245] Таким образом, при принятой нами степени приближения будут определяться только четыре постоянные Л , А , В и В , а постоянные Л и В будут определяться лишь в своей линейной комбинации. [c.247] Таким образом, частичный учёт квадратичных членов инерции по Озеену вносит в формулу Стокса для сопротивления шара поправку, относительная величина которой в первом приближении пропорциональна первой степени числа Рейнольдса. Формула для сопротивления шара становится двучленной первое слагаемое будет содержать скорость в первой степени, а второе — во второй степени. [c.248] Дальнейшее уточнение формулы сопротивления для шара, получаемой на основе использования уравнений Озеена, было произведено Гольдштейном 1). Сделанное им сравнение результатов расчёта сопротивления шара по формуле (5.33) и по уточнённой формуле Гольдштейна с соответственными экспериментальными результатами показало удовлетворительное согласование до числа Рейнольдса, равного четырём. При числе Рейнольдса, равном четырём, относительное отклонение расчётного результата по формуле (5.33) от экспериментального достигает 15 /д, а по формуле Гольдштейна 7 /(,. [c.248] Сопоставляя порядки полученных величин правых частей (5.34) с предположенными порядками величин первых коэффициентов (5.24) и (5.26), мы убеждаемся в том, что принятые допущения о порядке величин коэффициентов полностью оправдались. [c.248] Сравнивая полученные выражения (5.36) с формулами (7.20) главы V для скоростей, полученными при решении дифференциальных уравнений Стокса для задачи обтекания шара, мы видим полное их совпадение (различие в знаке объясняется различием направлений скоростей потока на бесконечности). Следовательно, частичный учёт квадратичных членов инерции по Озеену не вносит существенных изменений в тот характер течения вблизи поверхности неподвижного тела, который может быть получен при полном пренебрежении квадратичными членами инерции из уравнений движения. Однако это заключение будет верным только в том случае, если в выражениях скоростей мы будем ограничиваться слагаемыми, не содержащими вообще числа Рейнольдса, При таком предположении и правая часть формулы (5,33) для сопротивления шара будет совпадать с правой частью формулы Стокса. При сохранении же слагаемых, содержащих число Рейнольдса, будет проявляться уже некоторое различие в характерах течений вблизи поверхности обтекаемого тела. [c.249] На основании (5.41) заключаем, что на далёких расстояниях в узкой области позади шара частицы жидкости движутся радиально, но в направлении вслед за движением шара. При этом величина скорости убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от центра шара, тогда как для частиц впереди шара она убывает быстрее, а именно обратно пропорционально квадрату расстояния от центра шара. Таким образом, позади шара скорости частиц с увеличением расстояния от шара медленнее стрем5Ггся к нулю, чем впереди шара. Такое же заключение можно установить и по отношению к вихрям. [c.250] Подставляя в правые части вместо х первое слагаемое (5.23), содержащее Вц, т. е. [c.251] Таким образом, интенсивность вихря на поверхности хвостовой части потока позади шара с увеличением расстояния от центра шара затухает обратно пропорционально- лишь полуторной степени этого расстояния, тогда как впереди шара интенсивность вихря убывает по закону показательной функции (5.44). [c.252] Заканчивая рассмотрение примеров использования приближённого метода Озеена, заметим, что с помош,ью предложенных им уравнений им самим и его учениками развита так называемая теория исчезающей вязкости. На основании дифференциальных уравнений с частичным учётом квадратичных членов инерции Озееном ) построено решение задачи об обтекании выпуклого тела безграничным потоком в интегральном виде. Устремляя в этом решении коэффициент вязкости к нулю, Озеен получил течение идеальной жидкости с наличием разрыва впереди и сзади тела. Этот результат послужил основанием к постановке новой гидродинамической задачи об обтекании тела идеальной жидкостью с разрывными граничными условиями. [c.252] Вернуться к основной статье