ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема о рассеянии энергии из "Динамика вязкой несжимаемой жидкости " Если предгшложить, что силы, отнесённые к единице массы жидкости, имеют силовую функцию U, т. е. [c.100] Посмотрим, что произойдёт с уравнениями (1.1), если предположить, что проекции вектора-вихря в некоторой конечной области обращаются в нуль, т. е. [c.100] принимая предположение (1.2) об отсутствии вихрей в какой-либо области, мы получаем соотношения (1.3), (1.4) и (1.5), которые имеют место как раз для движения идеальной несжимаемой жидкости в этой области при отсутствии вихрей, т. е. распределение скоростей и давлений в той области, где движение вязкой и несжимаемой жидкости предполагается безвихревым, не будет зависеть от коэффициента вязкости. Если бы при этих условиях можно было удовлетворить граничному условию прилипания к твердым стенкам, то вопрос о возможности безвихревого движения вязкой несжимаемой жидкости решался бы положительно. Но легко убедиться в том, что решения, отвечающие потенциальному движению идеальной жидкости, не удовлетворяют в то же время условию прилипания частиц к границам, за исключением особых случаев. К таким особым случаям относится, например, чисто циркуляционное течение идеальной жидкости вокруг круглого цилиндра, в котором все линии тока будут окружностями, охватывающими заданный контур круга. В идеальной жидкости все точки контура неподвижны, и имеет место скольжение частиц жидкости вдоль контура с одной и той же скоростью. Для случая вязкой несжимаемой жидкости надо предположить, что цилиндр вращается. [c.101] Выражение в квадратной скобке представляет собой полную элементарную работу напряжений, распределённых по поверхности элементарного объёма (см. (4.8) гл. II). [c.102] Так как рассматривается фиксированная постоянная масса, т. е. [c.103] Левая часть полученного равенства (2.7) представляет собой элементарное приращение кинетической энергии конечной массы жидкости в объеме X. В теоретической механике доказывается, что элементарное приращение кинетической энергии произвольной изменяемой механической системы равно сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, т. е. [c.103] Из полученного равенства (2.7) следует, что на элементарное изменение кинетической энергии движения фиксированной массы расходуется вся элементарная работа внешних массовых сил и лишь часть элементарной работы внешних поверхностных сил, т. е. сил напряжений. Другая же часть элементарной работы внешних поверхностных сил не расходуется на изменение кинетической энергии, и поэтому можно полагать, что она расходуется на изменение формы, объёма и температуры элементарных частиц, т. е. идёт на изменение внутренней энергии, что и подтверждается уравнением (2.1). Для случая несжимаемой жидкости внутренняя энергия может состоять лишь из одной тепловой энергии, поэтому та часть элементарной работы сил напряжений, которая не будет расходоваться на изменение кинетической энергии, будет. расходоваться на изменение тепловой энергии, т. е. будет рассеиваться. [c.104] Обозначим энергию рассеивания, приходящуюся на единицу объёма и на единицу времени, через Е, т. е. [c.104] Выражение в правой части (2.11) всегда положительно, за исключением случая, когда все производные от скоростей по координатам обращаются в нуль. Следовательно, движение вязкой несжимаемой жидкости будет происходить без рассеяния механической энергии лишь в том случае, когда не будет происходить деформаций частиц, т. е. когда жидкость будет перемещаться как твёрдое тело. Во всех других случаях движения вязкой несжимаемой жидкости будет происходить потеря механической энергии. [c.104] Умножая левую и правую части (2.12) на элемент объёма йх и проводя интегрирование по всему объему, получим количество механической энергии, рассеиваемой за единицу времени в конечном объёме т. [c.105] Выражение в квадратной скобке в правой части (2.16) представляет собой е точностью до множителя не что иное, как квадратичный инвариант девиатора скоростей деформаций, рассмотренного нами в 7 главы I, который в свою очередь пропорционален скорости деформации результирующего сдвига частицы ((7.12) гл. 1). Таким образом, скорость рассеяния механической энергии для несжимаемой жидкости пропорциональна квадратичному инварианту девиатора скоростей деформаций или пропорциональна квадрату ркорости деформации результирующего сдвига частицы, т. е. [c.105] Вернуться к основной статье