ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость течений вязкой жидкости из "Математические основы классической механики жидкости " Долидзе Д. E., Нелинейная краевая задача для неустановившихся движений вязкой жидкости, Прикл. мат. и мех., 12, 165—180 (1948). [c.233] К и с e Л e в A. A., Ладыженская О. A., О существовании и единственности решений задачи Коши для вязких несжимаемых жидкостей, Изв. АН СССР, 21, 635—680 (1957). [c.233] Основная трудность задачи заключается в том, что даже гладкие начальные данные приводят в некоторых случаях к решениям, непрерывно дифференцируемы.м только на ограниченном отрезке времени. Это вызывает необходимость введения различного рода слабых решений уравнений Навье — Стокса (см. работы, указанные выше), исследование которых требует привлечения тонких математических методов. [c.233] О характере последующего движения при неизменных граничных условиях будет ли это движение мало отличаться от невозмущенного или даже малые возмущения начальных данных существенно меняют характер течения. [c.234] Есть два различных метода исследования этой задачи первый включает в себя стандартную процедуру линеаризации, второй основан на формуле (72.1). Мы имеем возможность рассмотреть только второй из этих методов i). При использовании этого метода задача сводится к доказательству того, что Л стремится к нулю, так как отсюда сразу следует, что и стремится к нулю почти всюду. [c.234] Сказанное нуждается в некотором пояснении. Пусть v — поле скоростей основного течения, а v — поле скоростей возмущенного течения. Тогда основное течение называется устойчивым (устойчивым в среднем), если энергия возмущения u = v —V стремится к нулю при возрастании t. [c.234] Поведение энергии возмущения при t- oo определяется знаком величины, стоящей в правой части формулы (72.1) если эта величина отрицательна для произвольного поля и, удовлетворяющего условию div и = О, то имеет место устойчивость. Так как первый член правой части уравнения (72.1) всегда отрицателен, то любое возмущение имеет тенденцию сгладиться за счет вязкости, однако при больших величинах касательных напряжений в основном потоке знак правой части (72.1) может измениться за счет положительного второго члена и амплитуда возмущений будет при этом возрастать. Таким образом, устойчивость течения определяется относительной величиной этих двух членов. [c.234] Следовательно, если первый член подинтегрального выражения в правой части равенства (73.1) по абсолютной величине меньше второго члена для всех допустимых функций и. то основное течение с полем скоростей V является устойчивым. Так как в первый член в качестве сомножителя входит V, мы приходим к выводу, что большие величины скорости основного течения и большие напряжения могут вызвать неустойчивость. Ниже на основе указанных соображений будут получены численные оценки границ устойчивости. [c.235] Пусть область имеет конечный диаметр й. Тогда кинетическая энергия произвольного возмущения п — = —V удовлетворяет двум следующим неравенствам-. [c.235] Кроме довольно грубых численных оценок границ устойчивости, из неравенств (73.2) и (73.3) следует ряд интересных результатов качественного характера. Например, возмущения достаточно малой длины волны d затухают независимо от характера основного течения. Иначе говоря, даже в турбулентном движении не могут существовать, вихри малого диаметра макроскопически течение может представляться запутанным случайным процессом, но если наблюдения того же течения проводятся прибором с достаточной разрешающей способностью, то структура течения будет всегда выглядеть регулярной. [c.237] Сформулированная теорема существенно зависит от предположения (73.8) в общем случае можно, по-видимому, построить пример неединственности. [c.238] Как показывает предыдущий анализ, при больших величинах вязкости все течения с одинаковым распределением скорости на границе после достаточно долгого времени будут одинаковы. С другой стороны, при малых значениях вязкости (или, эквивалентно, при больших числах Рейнольдса) наблюдаемые течения уже не стремятся к единственному предельному течению. Указанные факты легко проиллюстрировать на простых примерах течений Куэтта и Пуазейля, для которых устойчивый ламинарный режим возможен только при малых числах Рейнольдса. Исходя из экспериментальных результатов, Хопф ) высказал предположение о существовании класса решений уравнений Навье — Стокса, соответствующих течениям, наблюдаемым после достаточно долгого промежутка времени, когда влияние начальных данных уже не сказывается. При больших величинах вязкости этот класс исчерпывается одним решением при уменьшении вязкости таких решений становится все больше и больше. При фиксированном V класс Хопфа выделяет устойчивое многообразие в фазовом пространстве всех возможных решений. В работе Хопфа, на которую мы ссылались выше, это предположение сформулировано более четко и подтверждено интересной математической моделью уравнений Навье — Стокса, решения которой можно выписать в замкнутом виде. [c.238] В связи с гипотезой Хопфа было высказано предположение, что при t- o кинетическая энергия произвольного течения убывает до некоторой определенной величины, зависящей только от величины вязкости и граничных условий. Эта задача была исследована Хопфом 2) в предположениях, сформулированных в начале данного пункта. Полученные им результапй в сущности просты, но громоздкие выкладки вынуждают нас отослать читателя к первоисточнику. [c.238] Исследование течений в неограниченных областях в прин,-ципе проводится так же, как и для ограниченных областей, поэтому мы предоставляем читателю соответствующее обобщение приведенных выше результатов. [c.239] Вернуться к основной статье