ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку. Эйлеровы углы из "Курс теоретической механики. Т.1 " Предположим, что рассматриваемое твердое тело имеет неподвижную точку (центр) О (рис. 179) и может как угодно вращаться вокруг этой точки. Выясним прежде всего число величин, которое надо задать для определения положения твердого тела в пространстве. Для этого проведем через центр О ось OL, жестко связанную с телом положение этой оси в пространстве определится двумя величинами углами аир этой оси с осями Ох и Оу неподвижной систе.мы координат. Но этих двух величин еще недостаточно для определения положения твердого тела, так как тело может вращаться около взятой оси. Задавая еще одну величину — угол ф поворота тела вокруг оси, — полностью фиксируем положение тела в пространстве. [c.262] три величины должны быть заданы для определения положения тела, имеющего неподвижную точку. Условимся число независимых величин (параметров), определяющих положение твердого тела в пространстве, называть числом степеней свободы его твердое тело, враи1ающееся около нэподвиж-но.го центра, и.меет три степени свободы. Подробнее о степенях свободы системы тел будет сказано в отделе динамики. [c.262] Отметим линию ОМ пересечения плоскостей хОу и х Оу (рис. 80) и назовем ее, как это принято в астрономических приложениях, линией узлов. Выберем на этой линии положительное направление ОМ так, чтобы, смотря с него, видеть вращение оси Ог к оси Ог на наименьший угол в положительном направлении (т. е. в правой системе осей — против часовой стрелки) как легко видеть, плоскость гОг перпендикулярна к оси ОМ. [c.263] Первый эйлеров угол-—угол прецессии 1)1, или прецессионный угол, — образован в плоскости хОу линией узлов с неподвижной осью Ох отсчитывается угол. 1)1 в положительном направлении (по часовой стрелке) от оси Ох к оси ОМ, если смотреть с оси Ог. [c.263] Второй угол — угол нутации 0 — расположен в плоскости zOz и отсчитывается от оси Oz к оси Oz в положительном направлении (против часовой стрелки), если смотреть с положительного направления линии узлов, т. е. оси ON. [c.264] Для установления зависимостей между косинусами углов осей координат и эйлеровыми углами применим следующий прием. Введем, кроме единичных векторов осей координат , /,. к, V, У, к, на рис. 181 опущенных, еще единичные векторы следующих осей (рис. 181), п — линии ) ЗЛОВ ON П — оси ON, перпендикулярной к оси ON и лежащей в плоскости хОу, п — оси OjVI, перпендикулярной к оси ON и лежащей в плоскости х Оу. [c.264] Для установления зависимостей между косинусами углов, образованных осями подвижной системы (связанной с твердым телом) с осями неподвижной системы, и эйлеровыми углами можно воспользоваться также формулами сферической тригонометрии. Опишем вокруг точки О сферу единичного радиуса и отметим на поверхности сферы точки пересечения ее с осями координат и линией узлов (рис. 182). Соединяя эти точки дугами больших кругов, получаем сферические треугольники, решая которые находим искомые соотношения между косинусами углов, образуемых координатными осями, и тригонометрическими функциями эйлеровых углов. [c.266] Таким путем непосредственно получаются искомые соотношения в любой системе эйлеровых углов. [c.266] Укажем систему выбора эйлеровых углов, лишенную этого недостатка. [c.267] Это могут быть как одноименные, так и разноименные оси. [c.267] Если оси одноименные, как это было в только что рассмотренном случае, то угол между ними обозначается через 9 (угол нутации), если разноименные, то угол полагается равным я/2 0. [c.267] Пользуясь этими замечаниями, можно указать целый ряд способов выбора эйлеровых углов. Легко убедиться, что ранее изложенный способ согласуется с перечисленными только что принципами. [c.267] Примем за основные оси Ох и Oz (рис. 184). Угол между ними по общему правилу обозначим через л/2 + 0. Основными плоскостями будут плоскости х Оу и уОг следовательно, линия узлов ON будет лежать в плоскости yOz, т. е. в плоскости рисунка. Линию узлов ON направим в ту сторону,, чтобы вращение оси Ох к оси Ог на наименьший угол происходило в положительном направлении вокруг ON. Углы гр и ф выберем, положив yON = if, y ON ф. Когда угол 6 будет стремиться к нулю, так что угол хОг будет стремиться к я/2, то линия узлов ON окажется мало отклоненной от оси Оу и углы if и ф будут также малы. Таким образом, условие одновременной малости всех углов Эйлера при малом отклонении системы Ox y z от системы Охуг будет выполнено. [c.268] Для составления выражений косинусов углов между осями системы координат Охуг и Ox y z, обозначенными в таблице (см. стр. 263) через (г = 1, 2, 3 s = 1, 2, 3), укажем легче всего приводящий к результатам метод сферической тригонометрии, основанный на применении формулы (3). [c.268] В сферических треугольниках за одну из верщни всегда будем принимать точку N пересечения линии узлов со сферой единичного радиуса (рис. 184). Чтобы не затемнять чертежа, на рисунке показаны не все сферические треугольники. [c.268] Вернуться к основной статье