ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Элементарные преобразования из "Механика жидкости " Линейные функции обладают многими важными свойствами, которые перечисляются и комментируются ниже. [c.157] Восьмое свойство доказывается на основании рис. 55, где все окружности б, проходящие через инверсные точки А м В, ортогональны V, а также на основании того, что эти окружности преобразуются в окружности Ь, проходящие через точки А и В и ортогональные у. Но, как было показано выше, инверсность является непосредственным следствием этой ортогональности. Необходимо отметить, что инверсия точки на прямой линии является ее зеркальным отражением на этой линии. Поэтому и инверсия точки в окружности называется ее отражением. [c.161] Для доказательства девятого свойства примем, что А — полюс в плоскости г, а С — полюс в плоскости 2. Тогда все линии в плоскости 2 преобразуются в окружности (или линии), проходящие через А и соответствующие линиям, проходящим через С. Пара таких линий Ьх и Ь[ и пара перпендикулярных к ним линий 2 И 2 показаны на рис. 54. Линии, параллельные Ьх, преобразуются в окружности, касательные к Ь[, г линии, параллельные 2, — в окружности, касательные кЬ . Теперь легко показать, что модель правой части рис. 54 сохраняется параболическим преобразованием при переходе от плоскости 2 к плоскости т через плоскость 2. [c.161] Второе преобразование десятого свойства, очевидно, отображает действительную ось плоскости 2 в единичный круг, так как при действительном г числитель и знаменатель являются сопряженными величинами, а отсюда 1да =1. Условие возможности отображения внутренней области круга на верхнюю полуплоскость подтверждается тем, что 2 = —6/а при 1 = 0. Достаточно вспомнить, что это преобразование обладает тремя степенями свободы, и можно показать, что оно является наиболее общим линейным преобразованием действительной оси в единичный круг, так как именно три степени свободы необходимы для отображения линейной трансформацией трех заданных точек действительной оси в три произвольные точки единичного круга. [c.161] Доказательства одиннадцатого свойства в настоящем труде не приводятся, их можно найти в более детальных учебниках по комплексным переменным или конформным отображениям. [c.162] Как и в случае линейной функции, желательно рассматривать со как обычную точку плоскости. Так как со отображается наоо, устанавливаем, что да = l/ 7 и 2=1/2, а поведение ги (2) в со определяем как (Z) при 2 = 0. Это дает равенство = 2 , показывающее, что 2= со также является точкой разветвления п-то порядка. [c.163] Аналитическую функцию с точкой разветвления п-го порядка в точке 2=а можно выразить в виде т=(г—а) f(z), где функция Г(г) регулярна при г = а и Р а)фО. Отображение этой функции в малой окрестности точки г=-а хорошо аппроксимируется отображением Р а) г—а) , что, очевидно, подобно показанному на рис. 56. [c.163] Предыдущий метод разреза между точками разветвления может быть применен для упорядочения и создания непрерывности изменения всех аналитических многозначных функций. Если да = /(2) является такой функцией, то ее особые точки и точки, где исчезают производные, должны быть отмечены на плоскости 2 и объединены непрерывным рядом линейных непересе-кающихся отрезков. [c.163] В предшествующем рассмотрении равенства ш = 2 значение п было целым и положительным. Когда п — целое и отрицательное, точки 2 = 0 и 2= оэ меняются местами, но, как уже было сказано, обе они остаются точками разветвления многозначной функции 2= 1/ш . При п рациональном и равном р й, где р и — несократимые целые числа, функция может быть записана в виде w = zP — t, что может рассматриваться как отображение разреза в плоскости t на р ветвей в плоскости 2 и i7 ветвей в плоскости т. Если п иррационально, функцию лучше всего представлять в виде 1пш = гг1п2, так что ее обработка будет осуществлена после логарифмирования. [c.163] Конфокальные эллипсы и гиперболы с общими фокусами в точках разветвления ш= 2, как и требует отображение, ортогональны друг к другу (рис. 59). [c.166] Весьма ценно свойство кратности 5 величине углов в точке разветвления. Оно может быть использовано для преобразования клина с углом а в полуплоскости путем выбора 5 = л/а или для преобразования с помощью линейной трансформации области, ограниченной двумя дугами, пересекающимися под углом а, во внутреннюю область круга. [c.168] Пример 12. Найти преобразование, которое отображает горизонтальную бесконечную полосу от у = 0 до у = 2я в плоскости г во внешнюю область единичного круга так, что точки г=.-оо, О, оо 1=1. 1. [c.168] Вернуться к основной статье