ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод интегральных уравнений из "Механика жидкости " Существует несколько путей приведения задачи потенциального течения к решению интегрального уравнения, и для частных случаев может быть установлено бесконечное число различных интегральных уравнений. Однако прежде чем приступить к изучению их, следует познакомиться с природой интегральных уравнений и с возможностями и приемами для получения их решения. Теория интегральных уравнений получила широкое развитие и описана во многих книгах и статьях. Здесь можно представить только те результаты этой теории, которые имеют непосредственное практическое значение для настоящего случая. [c.117] Наиболее разработана теория интегральных уравнений в применении к уравнениям второго рода. Для этого типа уравнений имеются теоремы, совершенно аналогичные теоремам для линейных алгебраических уравнений. Для интегральных уравнений первого рода таких теорем нет. Действительно, частный метод Кармана, использующий осевое распределение источника-стока для получения потенциального потока вокруг вращающегося тела, очевидно приводит к интегральному уравнению первого рода, которое в общем случае не имеет решения. Однако было установлено, что даже когда точные решения не могут быть получены из уравнений первого рода, эти уравнения все же можно применять для получения полезных приближений. [c.118] Из различных методов решения интегральных уравнений метод Фредгольма — замена интегрального уравнения алгебраическим уравнением — кажется самым простым, а метод итерации кажется наиболее точным. Метод Фредгольма основывается на том, что определенный интеграл в интегральном уравнении приближается к конечной сумме. Вследствие простоты этого метода, он будет подробно разобран и проиллюстрирован далее. Большая точность метода итерации объясняется сохранением интегралов в каждом повторении и выражением их значений с по .ющью точной формулы квадратуры. Оценка погрешности соответствующего интегрального уравнения получается после каждого последовательного приближения, следовательно, повторения могут быть закончены, как только будет замечено, что погрешность начала расти. Последняя предосторожность особенно необходима для интегральных уравнений первого рода, когда точного решения не существует. В этом случае, хотя полный квадрат погрешности продолжает уменьшаться с увеличением числа повторений, могут наблюдаться весьма большие погрешности в отдельных точках. [c.118] Начиная с предполагаемого первого приближения fo(x) последовательность функций fi x), f2(x),. .. дается уравнением (83). Если эта последовательность равномерно сходящаяся, ее пределом является решение настоящего интегрального уравнения. Можно показать, что повторная формула сходится, если М— максимальное значение К х, у) в пределах а х, у Ь удовлетворяет условию М — а 1. [c.118] Таким образом, значения неизвестной функции f x) в п точка могут быть определены приближенно в каждом случае решением ряда п линейных уравнений с п неизвестными. [c.120] Первым случаем применения метода интегральных уравнений является безвихревое течение вокруг небольшого тела вращения, обусловленное равномерным потоком единичной скорости в положительном направлении г. Примем, что на этот поток накладываются распределенные вдоль оси 2 диполи с осями в отрицательном направлении z напряжением —А (2) на единицу длины, простирающиеся от z = a до z = b (рис. 33). [c.120] Так как распределение, обусловливающее осесимметричное течение, не обязательно соосно с ним, как, например, распределения по кольцам вокруг оси г, ясно, что существуют тела вращения, для которых уравнение (88) не имеет решения. Тем не менее, контролируя погрешности последовательных итераций, можно использовать итерационную формулу для получения полезных приближенных решений. Метод Фредгольма также, очевидно, дает хорошие приближения, если подразделения интервала аЬ не слишком мелки, т. е. п 10. [c.121] Выбранный общий метод решения задач Дирихле и Неймана, приводящий к интегральным уравнениям второго рода, основан на разрывах поверхности распределений источников и диполей. Допустим сначала, что потенциал на замкнутой поверхности тела 5 задан как ф=1 Рв), где Рв обозначает точки на поверхности (рис. [c.123] Последний множитель представляет амплитуду колебания, которая уменьшается от величины С на свободной поверхности до s hSA на дне. [c.124] Вернуться к основной статье