ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Криволинейные движения точки. Примеры из "Курс теоретической механики. Т.1 " Число уравнений движения в криволинейном движении равно двум, если движение плоское, а траектория — плоская кривая, или трем в общем пространственном случае, когда траектория — кривая двоякой кривизны. [c.154] Рассмотрим сначала некоторые частные примеры криволинейного движения. [c.154] В зависимости от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз этих колебаний получаются те или другие кривые. Отсюда вытекают практические применения этих кривых в акустике, оптике, электротехнике и механике для изучения колебательных движений. Проектируя след зайчика или вообще колеблющуюся прямолинейно точку на фотопластинку, соверщающую в свою очередь определенное гармоническое колебание в перпендикулярном направлении, анализируют полученную фигуру Лиссажу и по ней определяют амплитуды, частоты и фазы составляющих взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Таково, например, применение фигур Лиссажу в катодном осциллографе и других приборах. [c.154] Рассмотрим уравнение фигур Лиссажу, причем сначала остановимся на простейшем случае равных частот взаимно перпендикулярных колебаний. [c.154] Это — уравнение эллипса, имеющего центр в начале координат, с осями симметрии, наклоненными к осям координат под некоторым углом. Исследуем этот эллипс. Заметим прежде всего, что форма и расположение эллипса зависят (как это видно из его уравнения) не от значений фаз а] и аа в отдельности, а от сдвига фаз 1 — а, который обозначим через 0. [c.155] Для примера был взят случай Ц] = аг= а., при а ф Ог фигуры Лиссажу были бы те же, только в случае 0 = я/2 имели бы не окружность, а эллипс, оси симметрии которого совпадали бы с осями координат. [c.155] Как легко видеть из уравнений движения, абсолютные значения л и г/ не превосходят соответственно a и 2- Отсюда следует, что все фигуры Лиссажу ограничены прямоугольником со сторонами 2a и 2u2 (у нас на рисунке они все вписаны в квадрат со стороной 2а). [c.156] Равенство начальных фаз не является ограничительным условием, так как всегда можно так изменить начало отсчета времени, что фазы станут одинаковыми. Такое выравнивание фаз возможно, конечно, при разных частотах. [c.156] Здесь исключение времени приведет к уравнению алгебраической кривой четвертого порядка. Чтобы вычертить траекторию, проиге нанести на рисунке точки М х, у) при разных значениях / и потом их соединить плавной кривой. При этом получатся кривые, показанные на рис. 98. [c.156] При значениях а от п до 2я получим фигуры, симметричные вычерченным относительно вертикали. [c.156] Отметим следующее свойство кривых Лиссажу если частоты (или периоды) колебаний соизмеримы, то движение будет периодическим и кривые будут замкнутыми, т. е. точка будет описывать одну и ту же кривую, повторяя ее если же периоды несоизмеримы, то точка никогда не попадет на старое место оставаясь в границах квадрата или прямоугольника и делая все новые и новые петли, фигура Лиссажу никогда не замкнется. [c.157] Пример 23. Кривошипно-прлзунный механизм. По заданному закону вращения кривошипа составим уравнения движения точек гиа-туна криЕошипно-ползунного механизма и определим траектории этих точек. [c.157] Для разыскания траектории нет. необходимости знать закон вращения кривошипа, так как зависимость между координатами х к у получается из урапнений (17) путем исключения угла ф. Это ясно и из того простого соображения, что вид траекторий точек механизма зависит от конструкции механизма, а не от того, как будет вращаться кривошип. [c.158] Траектория представляет собой алгебраическую кривую четвертого порядка, имеющую форму овала. Она, в отличие от эллипса, не имеет вертикальной оси симметрии. Рассмотрим некоторые частные случаи. [c.158] ПО оси Оу, а кривошип отброшен. Такой механизм называется эллипсографом. Все точки линейки ВО опнсываюгг эллипсы, вырождающиеся в окр уж-ность для точки Лив прямые линии д я точек Я и О. [c.159] Первое соответствует ранее указанному эллипсу, второе — окружности, описываемой точкой Л1, когда крввошш и шатун сливаются в одну линию, что возможно при г = I. [c.159] Движение точки, проекция которой на некоторую плоскость совершает равномерное круговое движение, а на ось, перпендикулярную к этой плоскости,— равномерное прямолинейное движение, называется винтовым движением, а соответствующая траектория — винтовой линией. Винтовая линия В1.ется по поверхности цилиндра радиуса о расстояние к между двумя витками, взятое по образующей цилиндра, называется шагом винтовой линии. [c.159] Таков будет след неподвижного резца на равномерно вращающемся и равномерно перемещающемся вдоль своей оси цилиндре. [c.160] Каждое из этих уравнений в отдельности представляет собой уравнение цилиндрической поверхности 1) с образующей, параллельной оси Оу, и направляющей косинусоидой в плоскости Х2 и 2) с образующей, параллельной оси Ох, II направляющей синусоидой в плоскости уг. Пересечение этих двух цилиндрических поверхностей определяет винтовую линию. Проекциями винтовой линии на плоскости хОг и уОг служат косинусоида и синусоида. [c.160] Вернуться к основной статье