ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Течения, близкие к плоским. Вариационные принципы. Течения в узких слоях. Задачи со свободной границей. Две задачи Струи из "Проблемы гидродинамики и их математические модели " Любое решение системы (1), правильное в бесконечности, представляется в окрестности бесконечности рядом по этим степеня.м . [c.202] Все векторы поля направлены к началу координат, а величина вектора убывает обратно пропорционально квадрату расстояния R до начала, следовательно, это — поле точечного источника, расположенного в начале (точнее—стока). [c.203] Точно так же другие отрицательные степени Z- трактуются как комплексные потенциалы полей мультиполей, которые получаются слиянием диполей (квадруполей), слиянием квадру-полей и т. д. [c.204] Прн соблюдении этого условия ураваение 1) (х,/-) = 0, где 1 з определена формулой (13), распадается на г = 0 и уравнение профиля обтекаемого тела вращения. Очевидно, что это тело содержит множество . [c.205] С ОСЬЮ си1иметрии течения) сводится к квазиконформному по системе (1) отображению на полуплоскость (ij) 0 области, которая получается из полуплоскости г 0 выбрасыванием меридианного сечения тела. При этом бесконечные точки должны соответствовать друг другу и нужно задать величину скорости в бесконечности. [c.207] Узкие трубы. Для прикидочных подсчетов и приближенного решения ряда гидродинамических задач весьма полезны приближенные выражения скорости течения в узких трубах и в узких слоях между соосными поверхностями вращения. Эти выражения получаются примерно так же, как в плоском случае. Мы остановимся на случае течений в трубах. [c.207] Гармонические функции в пространстве хорошо изучены и обладают многими свойствами, аналогичными свойствам гармонических функций двух переменных. Однако в пространстве нет понятия сопряженности гармонических функций, которое связывало бы потенциал с функцией тока, как на плоскости. Хотелось бы наряду с потенциалом скоростей ф(л , г/, г) иметь еще две функции х(х,у,2) и г 52(л , г/, г) —гармонические или удовлетворяющие другим простым уравнениям, такие, что поверхности уровня г ) Си 1 )2 = С2 нересскаются по линиям тока течения, причем три семейства поверхностей Ф = с, 1(з1 = Сь 1з2 = С2 взаимно ортогональны. К сожалению, таких функций тока построить в общем случае не удается. [c.210] Только очень немногие пространственные задачи решаются до конца в элементарных или специальных функциях. Поэтому классические методы почти ничего не дают для решения таких задач и пространственная гидродинамика осталась еще очень мало разработанной. Между тем, именно в этой области можно надеяться на существенные продвинсения, если широко пользоваться, с одной стороны, вычислительными машинами и с другой— новыми методами, основанными на локальном изучении явлений в отдельных зонах и склейке полученных при этом-решений в соседних зонах. [c.211] Линейными комбинациями гармонических многочленов можно с любой точностью приблизить в произвольной ограниченной области О со связным дополнением любую функцию ф, гармоническую в окрестности О теорема Рунге). [c.211] Рассмотрим теперь примеры сочетания этих элементарных решений. [c.212] Здесь мы рассмотрим несколько вопросов, не связанных непосредственно с определенными гидродинамическими задачами, но относящихся к ситуациям, близким к тем, которые встречаются в пространственных задачах гидродинамики. [c.215] Математически нарушение вариационного принципа в пространственных задачах связано с тем, что здесь поверхности, образованные линиями тока, вообще говоря, не являются поверхностями уровня гармонических функций. А для поверхностей уровня гармонических функций вариационный принцип остается справедливым в следующей форме. Пусть О —область типа пространственного слоя, которая ограничена поверхностями Го г = 2о х, у) и Г 2 = г х, у), где го и 2 — гладкие функции, определенные во всей плоскости, и всюду го х,у) . .г х,у). Через б мы обозначим такую же область, ограниченную поверхностями Го г = го(х,у) и Г 2 = = г х,у), а через и и й — гармонические в Д и соответственно в О функции, непрерывные в замыкании этих областей, которые на Го принимают значение О, а на Г и Г равны 1. Через Г и Гь где О / 1, соответственно обозначим поверхности уровня и х,у,г)= I и й х, у, г) — I. [c.216] При этом соприкосновение Г и fг при О / 1 и достижение знаков равенства возможно лишь при совпадении О тл П. [c.216] Узкие слои. Рассмотрим область О, удовлетворяющую сформулированным выше условиям, и кроме того, предположим, что для любой точки Со е Го отрезок п = ОоО нормали к Го, лежащий в О, заключен в пределах Мк, N h, где М и М — фиксированные постоянные, а к — малая величина. Будем еще считать, что производные функций го х,у) и г(х,у) до третьего порядка во всех точках имеют тот же порядок к. [c.217] Для таких узких слоев можно дать формулу, обобщающую на пространственный случай формулу для растяжения при конформном отображении узких полос (см. цитированную выше работу М. А. Лаврентьева [6]). Эта формула дает приближенное выражение нор мальной производной гармонической в слое функции и которая на Го принимает значение О, а н а Г равна по стоянной И. [c.217] Отобрая ения /, удовлетворяющие эквивалентным условиям (4) или (5), мы будем называть гармоническими. Очевидно, что это — отображение области течения жидкости на область изменения вектора скорости, если жидкость идеальная, течение установившееся и в области течения нет ни вихрей, ни источников. [c.219] Если границы Го и Г области В типа слоя дважды гладки и при х - -у оо достаточно быстро стремятся к горизонтальным асимптотам, скажем, к г = О и г=к, причем первые и вторые производные функций го и 2 достаточно быстро стремятся к нулю, то гармоническое отображение / = и, и, га) этой области на слой О ау с Я существует. Отображение / определяется единственным образом, если дополнительно потребовать, чтобы точка (О, О, 2о(0, 0)) переходила в (0,0,0), а оси и соответствовала кривая с асимптотой, параллельной оси X, и задать растяжение в бесконечности вдоль этой кривой. [c.220] Вернуться к основной статье