ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые замечания о тензорах из "Лекции по гидроаэромеханике " Здесь будем рассматривать трехмерное ортогональное пространство с декартовыми координатами хи Х2, а з с ортами ii, 2, 3. Все результаты этого параграфа легко обобщаются на случай евклидова пространства любого числа измерений. [c.17] Пусть г — радиус-вектор точки с координатами дг], Х2, Хз. [c.18] Формулы (7.5) — формулы преобразования компонент вектора при переходе от одной системы координат к другой — мы получили, трактуя вектор как направленный отрезок. Можно, однако, формулы (7.5) положить в основу следующего определения вектора. [c.18] Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы координат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индексами, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (7.14). В связи с этим вводят определение если в каждой прямолинейной ортогональной системе координат имеется совокупность девяти величин с и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину с — Цс,уг1 — аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга). [c.20] Рассмотрим следующие примеры. [c.20] Дифференцирование тензора. Пусть компоненты тензора ранга п являются функциями координат Хг, Хз. Тогда совокупность первых частных производных от компонент тензора по координатам определяет тензир ранга п т. е. при дифференцировании по координатам ранг тензора повыщается на единицу. [c.21] Очевидно, что = —/ , ричен. [c.22] Тензор 5 называют симметричной, а тензор R — антисимметричной частями тензора С. [c.22] Приведем некоторые примеры. [c.22] Можно произвести свертывание этого тензора по значкам I и т либо по к и п. При этом придем либо к исходному тензору, либо к тензору с переставленными строками и столбцами. [c.23] Причем А = 1, если правая (левая) система координат преобразуется в правую (левую), и Д = — 1, если правая (левая) система координат преобразуется в левую (правую). Введем теперь понятие псевдотензора. [c.23] Приведем примеры псевдотензоров. [c.24] Во всех правых системах координат псевдотензор Леви — Чивита имеет один и тот же вид. [c.24] Выполним два раза операцию свертывания по индексам I и р п индексам т и д. При двухкратном свертывании ранг псевдотензора понизится на четыре и получим псевдотензор первого ранга (псевдовектор R). [c.24] Из выражений для проекций видно, что Р = а X Ь, т. е. К — векторное произведение векторов а и Ь. [c.24] Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25] Вернуться к основной статье