ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теоретическая гидродинамика из "Гидродинамика Методы Факты Подобие " Теоретическая (рациональная) гидродинамика стремится приближенно предсказать движение реальной жидкости путем решения краевых задач для соответствующих систем дифференциальных уравнений в частных производных. При составлении этих уравнений в качестве аксиом принимают законы движения Ньютона. Предполагается также, что рассматриваемая жидкость (обычная жидкость или газ) всюду непрерывна и что на любую часть поверхности действует вполне определенное давление или какое-либо другое внутреннее напряжение (сила, приходящаяся на единицу площади), которое, по крайней мере локально, является дифференцируемой функцией координат, времени и направления. Наконец, устанавливается связь этих напряжений с движением жидкости посредством введения различных параметров, характеризующих данное вещество (плотность, вязкость и т. д.), и функциональных зависимостей (закон адиабатического сжатия и т. п.). Исходя из таких допущений, математики составили системы дифференциальных уравнений для различных идеализированных жидкостей (несжимаемой невязкой, сжимаемой невязкой, несжимаемой вязкой и т. д.). [c.15] С дифференциальными уравнениями для идеализированных жидкостей ). [c.16] Математику легко убедить себя в том, что теоретическая гидродинамика в основном непогрешима. Так, Лагранж ) писал в 1788 г. Мы обязаны Эйлеру первыми общими формулами для движения жидкостей... записанными в простой и ясной символике частных производных... Благодаря этому открытию вся механика жидкостей свелась к вопросу анализа, и будь эти уравнения интегрируемыми, можно было бы в любом случае полностью определить движение жидкости под воздействием любых сил... Многие из величайших математиков, от Ньютона и Эйлера до наших дней, штурмовали задачи теоретической гидродинамики, веря в это. И в их исследованиях, часто вдохновляемых физической интуицией, были введены некоторые из наиболее важных понятий теории уравнений в частных производных функция Грина, вихревая линия, характеристика, область влияния, ударная волна, собственные функции, устойчивость, корректность задачи —таков неполный список. [c.16] Однако краевые задачи теоретической гидродинамики чрезвычайно трудны, и продвижение в этой области шло бы гораздо медленнее, если бы строгая математика не дополнялась различными правдоподобными интуитивными гипотезами. Наиболее плодотворными среди них были следующие. [c.16] Приведенные правдоподобные предположения обычно принимаются без оговорок, как сами собой разумеющиеся. Первые две главы этой книги посвящены главным образом подробному исследованию их приемлемости. [c.16] На деле в ряде случаев уравнения Эйлера были проинтегрированы, но результаты расчетов резко расходились с наблюдениями, что явно противоречит мнению Лагранжа. В гидродинамике такие несомненные противоречия между экспериментальными данными и заключениями, основанными на правдоподобных рассуждениях, называются парадоксами, и в дальнейшем этот термин будет употребляться именно в таком смысле. [c.17] Теперь обычно заявляют, что подобные парадоксы возникают из-за отличия реальных жидкостей, имеющих малую, но конечную вязкость, от идеальных жидкостей, имеющих нулевую вязкость ). Из этого, по существу, следует, что утверждение Лагранжа (см. прим. 2 на стр. 16) можно подправить, поставив Навье — Стокс вместо Эйлер . [c.17] Это утверждение будет критически рассмотрено в гл. П оно, пожалуй, в принципе верно для несжимаемого вязкого течения. Однако, мы полагаем, что если понимать его буквально, то оно может ввести в заблуждение, поскольку явно не выделены перечисленные выше правдоподобные гипотезы и не учтен тот ущерб в строгости, который обусловлен их применением. [c.17] Тем не менее нам не известно ни одного случая, когда дедукция, строгая как физически, так и математически, привела бы к неправильному заключению, но лишь очень немногие выводы теоретической гидродинамики могут быть строго установлены. Для самых интересных из них широко использовались одна или несколько из упомянутых гипотез (А) —(F). [c.17] Мы не настаиваем на том, чтобы впредь не использовать в теоретической гидродинамике гипотезы (А) —(F) — даже в чистой математике правдоподобные соображения играют очень важную роль ). В гидродинамике продвижение едва ли было бы возможно без широкого использования таких правдоподобных гипотез, а полная строгость редко бывает достижимой. Мы только настаиваем на том, что, прежде чем считать научно установленными заключения, основанные на правдоподобных соображениях, их надо проконтролировать либо с помощью строгих доказательств (как в чистой математике), либо с помощью эксперимента. [c.18] Напротив, мы считаем, что нужно только приветствовать открытие гидродинамических парадоксов, искренне признав неспособность существующей математики (и логики) адекватно отображать сложные и удивительные явления природы. Опыт показывает, что человеческое воображение гораздо более ограничено, чем ресурсы природы как писал Паскаль, воображение скорее устанет постигать, чем природа поставлять . [c.18] В связи с этим, остальная часть первой главы будет посвящена анализу некоторых парадоксов классической гидродинамики. В гл. II мы уделим внимание аналогичным (но не столь широко известным) парадоксам современной динамики жидкостей. [c.18] Мы начнем с рассмотрения основных уравнений для невязких жидкостей, выведенных Эйлером и Лагранжем. Пусть и = = и(х, t) означает вектор скорости жидкости в точке х в момент времени t. Пусть р(х, t) означает плотность жидкости, g(x, t) — внешнее гравитационное ) поле и р(х, t)—давление в жидкости. [c.18] Случаю несжимаемости соответствует Dp/Dt = О, и, следовательно, div U = 0. [c.19] При U = О, когда жидкость находится в состоянии покоя, напряжение в жидкости на любой элемент поверхности действует по нормали к нему. Это — физическое определение жидкости экспериментально проверено, что ему удовлетворяют многие реальные вещества. [c.19] Эйлер предположил, что этот закон гидростатики применим также к движущимся жидкостям, т. е. в гидродинамике. Этот закон приближенно удовлетворяется во многих случаях движения жидкостей (исключая области вблизи границы). Например, изменение скорости на 50 м/сек в слое воздуха толщиной в четверть миллиметра вызывает усилие сдвига, составляющее примерно 1/2000 атмосферного давления ([3], стр. 2). [c.19] Именно такие жидкости обычно рассматриваются в акустике н в аэродинамике больших скоростей. Быстрое сжатие и расширение— типичные адиабатические процессы ) в том смысле, что можно пренебречь теплопроводностью. Кроме того, пренебрежение теплопроводностью логически не противоречит пренебрежению вязкостью в уравнении (2), поскольку как теплопроводность, так и вязкость представляют собой молекулярные явления. [c.20] Уравнение (За) достаточно точно для многих задач газовой динамики для воздуха т = 1,4. Однако для жидкостей уравнение (3) необходимо брать (приближенно) в виде (р — Ру) =, где Рг, есть давление паров при кавитации (см. 42). [c.20] Основные уравнения Эйлера (1) —(3) позволяют получить различные фундаментальные следствия, имеющие много важных приложений. [c.21] Течения, обладающие таким свойством, называются (локально) безвихревыми ). Следовательно, в односвязной области,такой, как область вне некоторого твердого тела в пространстве или половина симметричной области вне кругового цилиндра а плоскости, скорость и должна быть однозначной функцией во всей области. [c.21] Вернуться к основной статье