ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие рассмотрения из "Математические методы в кинетической теории газов " Присутствие неоднородного члена в последующих приближениях едва ли усложняет решение уравнений, так как хорошо известные методы дают возможность решать линейное неоднородное уравнение, коль скоро получено решение соответствующего однородного уравнения. [c.143] Как указывалось выше, уравнение (1.7) подобно полному уравнению Больцмана, за исключением того, что оно линейно поэтому его называют линеаризованным уравнением Больцмана. [c.143] Теперь нужно определить условия, при которых для получения результатов, имеющих физический смысл, можно использовать линеаризованное уравнение Больцмана как указано раньше, эти условия должны быть определены начальными и граничными условиями. Поскольку решение уравнения Больцмана разыскивается в- виде / — /о (1 + ) при условии, что К можно рассматривать как величину, в некотором смысле малую по сравнению с единицей, необходимым условием является малость Н при 1 = 0 и на границе. [c.143] Теперь очевидно, что К может быть малым в некотором смысле, только если неоднородный член мал (в некотором подходящем смысле). Это означает, что если / ( , х) (х дВ) — максвелловская функция с той же плотностью, что и /о (I), но со скоростью и температурой, равной скорости и температуре стенки в точке X (так что / удовлетворяет принципу детального баланса в точке х), то разность 1 — (///о) мала по сравнению с единицей и определяет порядок величины к (на границе). Это в свою очередь означает, что скорость и температура границ (в том числе и возможных границ на бесконечности) должны быть мало возмущены, т. е., как указывалось ранее, относительные скорости и разности температур должны быть малы в том смысле, что должны быть малы величины (1.8). [c.144] Как было указано, необходимое условие для-линеаризации — малость неоднородных членов в начальных и граничных условиях. Для того чтобы определить, является ли это условие также и достаточным, надо исследовать начальную и граничную задачи для линеаризованного уравнения Больцмана и доказать, что суш е-ствует одно и только одно решение данной граничной задачи и что это решение остается малым, если упомянутые неоднородные члены достаточно малы. Нужно также доказать, что если выполнены необходимые условия линеаризации, то разность между нелинейным и линеаризованным уравнениями есть величина более высокого порядка малости это нужно, чтобы необходимые условия были также и достаточными. [c.145] Характер материала, представленного в настоящей главе, таков, что удобно использовать симметризованные обозначения к, Ь, введенные в 2 гл. 3, чтобы в определение скалярного произведения в не входила максвелловская весовая функция. Однако мы будем писать Ъ ж Ъ, подразумевая под ними прежние % ж Ь. Путаницы возникнуть не должно, поскольку в этой главе к ж Ь не употребляются в старом смысле. [c.145] Вернуться к основной статье