ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость упругих систем из "Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости " ВДОЛЬ его длины, т. е. производная dt/dl мала. Другими словами, радиус кривизны изогнутого стержня в каждой точке должен быть велик по сравнению с длиной стержн . Практически это условие сводится к требованию малости поперечного прогмба стержня по сравнению с его длиной. Подчеркнем, что при этом отнюдь не требуется малости прогиба по сравнению с толщиной стержня, как это должно было быть в приближенной теории слабого изгиба пластинок, развитой в 11—12 ). [c.110] Эти уравнения определяют зависимость прогибов X и F от 2, т. е. форму слабо изогнутого стержня. [c.110] Мы видим, что вторые производные определяют момент сил внутренних напряжений, а третьи производные определяют сами эти силы. Силу (20,5) называют перерезывающей силой. Еаш изгиб производится сосредоточенными силами, то перерезывающая сила постоянна вдоль каждого из отрезков стержня между точками приложения сил, а в каждой из этих точек испытывает скачок, равный приложенной внешней силе. [c.110] Велячины /2 й Е1 называют жесткостью стержня на изгиб соответственно в главных плоскостях х, 2 и у, г ). [c.111] Величина 1 играет роль эффективного значения момента инерции сечения стержня. [c.112] Сила же и момент сил реакции в точках опоры определяются по известному решению формулами (20,3) и (20,5). [c.112] Направление же конца стержня и сила реакции в точке опоры определяются в результате решения уравнений. [c.112] Если б есть порядок величины поперечного прогиба, то производные X и Y — порядка 6/L, так что весь интеграл, стоящий в (20,16), — порядка величины ф/L) L = 6VL и Т ES (8IL) . Порядок величины первых и вторых членов в (20,14) — соответственно IE8IL и 78/1 ES8 /L . Момент инерции / имеет порядок величины I h , а S где h — толщина стержня. Подставляя это, легко получаем, что первые и вторые члены в (20,14) сравниваются по порядку величины при б Л. [c.114] Концы струны надо представлять себе закрепленными в том смысле, что их координаты заданы, т. е. [c.114] Направление же концов не может быть задано произвольным образом, а определяется решением уравнений. [c.114] Из первого, интегрального, члена следуют ввиду произвольности вариаций бХ и ЬУ уравнения равновесия (20,4). Остальные же, проинтегрированные, члены дают граничные условия к этим уравнениям так, на свободном конце вариации бХ, 8Y, 6Х, произвольны и соответственно получаются условия (20,11). В то же время коэффициенты при бХ и ЬУ в этих членах дают выражения (20,5) для компонент перерезивающей силы, а коэффициенты при 5Х и бУ- — выражения (20,3),для компонент изгибающего момента. [c.115] Решение. Везде, кроме точки г = //2, имеем уравнение = 0. Граничные условия в концах стержня (г = О и 2 = /) определяются способом закрепления в точке же 2 = //2 должны быть непрерывны . а разность перерезывающих сил F = —Ell, по обе стороны этой точки должна быть равна силе /. [c.116] Форма стержня (на участке О 2 И2) и стрелка прогиба даются следующими формулами. [c.116] Форма стержня симметрична относительно его середины, так что функция S (г) на участке 1/2 z I получается отсюда просто заменой г на I — г. [c.116] По обе стороны от точки г = U2 стержень изогнут в разные стороны. [c.117] Поведение стержня, подверженного воздействию продоль-ных сжимающих сил, иредставляет простейший пример важного явления упругой неустойчивости, впервые обнаруженного Л. Эйлером. [c.119] Напротив, при Г Г р прямолинейная форма отвечает неустойчивому равновесию. Достаточно уже бесконечно малого воздействия (изгиба) для того, чтобы равновесие нарушилось, в результате чего произойдет сильный изгиб стержня. Ясно, что в этих условиях сжатый стержень вообще не сможет реально существовать в неизогнутом виде. [c.120] В задачах этого параграфа приведен ряд типичных случаев потери устойчивости различными упругими системами. [c.120] Вернуться к основной статье