ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Одномерные бегущие волны из "Теоретическая физика. Т.4. Гидродинамика " При изучении звуковых волн в 64 амплитуда колебаний в волне предполагалась малой. В результате уравнения движения оказывались линейными и могли быть легко решены. Решением этих уравнений является, в частности, функция от X t (плоская волна), что соответствует бегущей волне с профилем, перемеш,ающимся со скоростью с без изменения своей формы (под профилем волны понимают распределение различных величин — плотности, скорости и т.п. — вдоль направления ее распространения). Поскольку скорость v, плотность р и давление р (как и другие величины) в такой волне являются функциями от одной и той же комбинации л t, то они могут быть выражены как функции друг от друга в виде соотношений, не содержащих явно ни координаты, ни времени (например, р — = р(р), d = у(р) и т. д.). [c.526] В случае произвольной, не малой, амплитуды волны эти простые соотношения уже не имеют места. Оказывается, однако, возможным найти общее решение точных уравнений движения, представляющее собой бегущую плоскую волну и являющееся обобщением решения f x t) приближенных уравнений, применимых в случае малых амплитуд. Для отыскания этого решения будем исходить из требования, чтобы в общем случае волны с произвольной амплитудой плотность и скорость могли быть выражены в виде функции друг от друга. [c.526] Этим определяется общая связь между скоростью и плотностью или давлением в волне ). [c.527] Движение, описываемое решением (101,4—5) часто называют простой волной-, ниже мы будем пользоваться этим термином. Изученное в 99 автомодельное движение является частным случаем простой волны, соответствующим равной нулю функции [(и) в (101,5). [c.528] Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х. для нее u = v с. В 99 была вычислена производная от v -с по плотности (см. (99,10)). Мы видели, что du/dp 0. Таким образом, скорость распространения заданной точки профиля волны тем больше, чем больще плотность. Если обозначить посредством q скорость звука для плотности, равной равновесной плотности ро, то в местах, где имеется сжатие, р Ро и с Со в точках разрежения, напротив, р С ро и с Со. [c.529] ЭТИХ поверхностей, в результате чего волна перестает быть бегущей в одном направлении, а потому и лежащее в основе всего вывода предположение об однозначной зависимости между различными величинами не имеет, вообще говоря, места. [c.530] Наличие разрывов (ударных волн) приводит, как было указано в 85, к диссипации энергии. Поэтому возникновение разрывов приводит к сильному затуханию волны. Наличие такого затухания видно уже непосредственно из рис. 80. При возникновении разрыва как бы отсекается наиболее высокая часть профиля волны. С течением времени, по мере продолжающегося выгибания профиля, его вышина все более уменьшается. Происходит сглаживание профиля с уменьшением его амплитуды, что и означает постепенное затухание волны. [c.530] Из сказанного выше ясно, что образование в конце концов разрывов должно произойти во всякой простой волне, в которой имеются участки, на которых плотность убывает в направлении распространения волны. Единственный случай, когда разрывы вообще не образуются, — волна, в которой плотность монотонно возрастает в направлении распространения на всем ее протяжении (такова, например, волна, возникающая при выдвигании поршня из заполненной газом бесконечной трубы см. задачи к этому параграфу). [c.530] Решение. Если а О, т. е. поршень выдвигается из трубы, то возникает простая волна разрежения, в которой ударные волны вообш.е не образуются. Ниже предполагается а О, т. е. поршень вдвигается в трубу, создавая простую волну сжатия. [c.532] П])ичем второе уравнение надо заменить просто равенством т = О, если речь идет об образовании разрыва на переднем фронте простой волны. [c.533] При п 1 производная (dxjdx)i как функция от т оказывается знакопеременной (а потому функция v(x) при заданном —многозначной) уже при всяком i 0. Это значит, что ударная волна образуется на поршне уже в самый момент начала его движения. [c.533] Обратим внимание на то, что р оказывается здесь отличным от нуля уже в квадратичном прнблии ении — ср. конец 65. [c.534] Вернуться к основной статье