ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Переход к турбулентности путем удвоения периодов из "Теоретическая физика. Т.4. Гидродинамика " Рассмотрим теперь потерю устойчивости периодическим движением путем прохождения мультипликатора через значение —I или +1. [c.169] Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через —1. Равенство л = —1 означает, что начальное возмущение через интер)зал времени То меняет знак, не меняясь по абсолютной величине еще через период То возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе ц через значение —1 в окрестности предельного цикла с периодом То возникает новый предельный цикл с периодом 2То — бифуркация удвоения периода ). На рис. 20 условно изображены две последовательные такие бифуркации на рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов 2То, 47 о, а штриховыми — ставшие неустойчивыми предыдущие циклы. [c.170] как мы будем говорить для краткости, 2-циклу. Относящиеся к нему неподвижные точки будем называть элементами цикла. [c.171] Многократное повторение бифуркаций удвоения периода открывает один из возможных путей возникновения турбулентности. В этом сценарии число бифуркаций бесконечно, причем они следуют друг за другом (по мере увеличения R) через все убывающие интервалы последовательность критических значений Ry, R2,. .. стремится к конечному пределу, за которым периодичность исчезает вовсе и в пространстве возникает слож[1ый апериодический аттрактор, ассоциируемый в этом сценарии с возникновением турбулентности. Мы увидим, что этот сценарий обладает замечательными свойствами универсальности и масштабной инвариантности М. J. Feigenbaum, 1978) ). [c.172] Излагаемая ниже количественная теория исходит из предпосылки, что бифуркации следуют друг за другом (при увеличении R) настолько быстро, что даже в промежутках между ними занимаемая множеством траекторий область пространства состояний остается почти двумерной, и вся последовательность бифуркаций может быть описана одномерным отображением Пуанкаре, зависящим от одного параметра. [c.172] Преобразование (32,5) имеет неподвил ную точку — корень уравнения х, = 1 —Хх . Эта точка становится неустойчивой при X Л[, где Ai — значение параметра Х, для которого мультипликатор (х = —2Я,л , = —1 из двух написанных уравнений находим Л = 3/4. Это — первое критическое значение параметра Х, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант затем будут сформулированы точные утверждения. [c.173] Это преобразование невозможно при значении X = 1 (при котором неподвижная точка отображения (32,6) совпадает с центральным экстремумом Z =0), Это значение, однако, заведомо не является интересующим нас следующим критическим эиачепием Лг. [c.173] В силу предположенных свойств допустимых функций /(х), функция g x) должна быть гладкой и иметь квадратичный экстремум в точке л = 0 никакого другого следа от конкретного вида f(x) в уравнении (32,13) или в налагаемых на его решение условиях не остается. Подчеркнем, что после произведенных при выводе масштабных преобразований (с сст 1) решение уран-нения определяется при всех значениях фигурирующей в нем переменной х от —оо до +оо (а не только на интервале —1 s 1). Функция g(x) автоматически является четной по х она должна быть такой, поскольку среди допустимых функций f(x) имеются четные, а четное отображение заведомо остается четным после любого числа итераций. [c.176] Функция g(x) определяет структуру апериодического аттрактора, возникающего в результате бесконечной последовательности удвоений периода. Но это происходит при вполне определенном для функции [(х X) значении параметра X = Л, . Ясно поэтому, что функции, образованные из f(x X) путем многократ-ног-о итерирования преобразования (32,12), действительно сходятся к g(x) лишь при этом изолированном значении X. Отсюда в свою очередь следует, что неподвижная функция оператора Т неустойчива по отношению к ее малым изменениям, отвечающим малым отклонениям параметра к от значения Лоо. Исследование этой неустойчивости дает возможность определения универсальной постоянной б — снова без всякой связи с конкретным видом функции f x) ). [c.177] В момент бифуркации (при X = Л ) каждый элемент (точка) 2 -цикла расщепляется на пару—две близкие точкп, расстояние между которыми постепенпо возрастает, но точки остаются ближайшими друг к другу на всем протяжении изменения до следующей бифуркации. Если следить за переходами элементов цикла друг в друга с течением времени (т. е. нри последовательных отображениях Xj+i = f(xj к)), то каждая из компонент пары перейдет в другую через 2 единиц времени. Это значит, что расстояние между точками пары измеряет амплитуду колебаний вновь возникающего удвоенного периода, и в этом смысле представляет особый физический интерес. [c.178] Таким образом, интенсивность новых спектральных компонент, появляющихся после бифуркации удвоения периода, превышает таковую для следующей бифуркации в определенное, не зависящее от номера бифуркации, число раз (М. У. Feieenbaum, 1979) ). [c.180] Обратимся к изучению эволюции свойств движения при дальнейшем увеличении параметра X за значением Лео (числа Рейнольдса R Ro ) — в турбулентной области. Поскольку в момент своего рождения (при К = Лоо) апериодический аттрактор описывается одномерным отображением Пуанкаре, можно считать, что и при значениях X, незначительно превосходящих Лоо, допустимо рассматривать свойства аттрактора в рамках такого отображения. [c.180] Аттрактор, возникший в результате бесконечной цепочки удвоений периода, в момент своего рождения не является странным в определенном в 31 смысле 2 -цикл , возникающий как предел устойчивых 2 -циклов при fli— -оо, тоже устойчив. Точки этого аттрактора образуют на отрезке [—1,1] несчетное множество канторового типа. Его мера на этом отрезке (т, е. полная длина совокупности его элементов) равна пулю его размерность лежит между О и 1 и оказывается равной 0,54 ). [c.180] Обозначим значения параметра А., отвечающие последовательным обратным бифуркациям удвоения через Am+i, причем они расположены в последовательности Л , Л, +1. Покажем, что эти числа удовлетворяют закону геометрической прогрессии с тем же универсальным показателем 6, что и для прямых бифуркаций. [c.181] Эволюция свойств странного аттрактора при А оо с о п р о вождается соответствующими изменениями в частотном спектре интенсивности. Хаотичность движения выражается в спектре появлением в нем шумовой компоненты, интенсивность которой возрастает вместе с шириной аттрактора. На этом фоне присутствуют дискретные ники, отвечающие основной частоте неустойчивых циклов, их гармоникам и субгармоникам при последовательных обратных бифуркациях исчезают соответствующие субгармоники— в порядке, обратном тому, в котором они появлялись в последовательности прямых бифуркаций. Неустойчивость создающих эти частоты циклов проявляется в уширении спек-тральных пиков. [c.182] Рассмотрим, наконец, разрушение периодического движения при прохождении мультипликатора через значение -j-1. [c.183] При малой надкритичности расстояние между линией (32,22) и прямой Xi+ =Xj мало (в области вблизи Xj = 0). На этом интервале значений х, следовательно, каждая итерация отображения (32,22) лишь незначительно перемещает след траектории, и для прохождения им всего интервала потребуется много шагов. Другими словами, на сравнительно большом промежутке времени траектория в пространстве состояний будет иметь регулярный, почти периодический характер. Такой траектории отвечает в физическом пространстве регулярное (ламинарное) движение жидкости. Отсюда возникает еще один, в принципе возможный, сценарий возникновения турбулентности (Р. Manneville, Y. Porneaii, 1980). [c.183] В этом сценарии остается открытым как вопрос о пути подхода к его началу, так и вопрос о природе возникающей турбулентности. [c.184] Вернуться к основной статье