ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость стационарного движения жидкости из "Теоретическая физика. Т.4. Гидродинамика " Для всякой задачи о движении вязкой жидкости в заданных стационарных условиях должно, в принципе, существовать точное стационарное решение уравнений гидродинамики. Эти решения формально существуют при любых числах Рейнольдса. Но не всякое решение уравнений движения, даже если оно является точным, может реально осуществиться в природе. Осуществляющиеся в природе движения должны не только удовлетворять гидродинамическим уравнениям, но должны еще быть устойчивыми малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со временем. Если же, напротив, неизбежно возникающие в потоке жидкости сколь угодно малые возмущения стремятся возрасти со временем, то движение неустойчиво и фактически существовать не может ). [c.137] Граничным условием является исчезновение Vi на неподвижных твердых поверхностях. [c.138] Таким образом, Vi удовлетворяет системе однородных линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями только от координат, но не от времени. Общее решение таких уравнений может быть представлено в внле суммы частных решений, в которых vi зависит от времени посредством множителей типа Сами частоты со возмущении не произвольны, а определяются в результате решений уравнений (26,4) с соответствующими предельным условиями. Эти частоты, вообще говоря, комплексны. Если имеются такие со, мнимая часть которых положительна, то будет неограниченно возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения, раз возникнув, будут возрастать, т. е. движение будет неустойчиво по отношению к ним. Для устойчивости движения необ.хо-димо, чтобы у всех возможных частот со мнимая часть была отрицательна. Тогда возникающие возмущения будут экспоненциально затухать со временем. [c.138] Это выражение для A(t) в действительности пригодно лишь в течение короткого промежутка времени после момента срыва стационарного режима множитель exp(7i/) быстро растет, между тем как описанный выше метод определения vi, приводящий к выражению вида (26,5—6), применим лишь при достаточной малости VI. В действительности, конечно, модуль А амплитуды нестационарного движения не растет неограниченно, а стремится к некоторому конечному пределу. При R, близких к Rkp, этот конечный предел все еще мал, и для его определения поступим следующи.м образом. [c.139] Строго говоря, члены третьего порядка дают при усреднении не нуль, а величины четвертого порядка мы предполагаем нх включенными в члены четвертого порядка в разложении. [c.139] Нас интересует ситуация, когда при R R,, p впервые становится неустойчивым (на фоне основного движения) уже сколь угодно малое возмуи1ение. Ей отвечает случай а 0 рассмотрим его. [c.140] При R = Rkp возмущение скачком возрастает до конечной амплитуды (которая, конечно, предполагается все же настолько малой, что используемое разложение по степеням А применимо) ). В интервале R p R Rkp основное движение мета-стабильно — устойчиво по отношению к бесконечно малым, но неустойчиво по отношению к возмущениям конечной амплитуды (сплошная линия пунктирная кривая ветвь неустойчива). [c.141] Уравнением (26,7) определяется только абсолютная величина временного множителя Л (О, но не его фаза ф1. Последняя остается по существу неопределенной и зависит or случайных начальных условий. В зависимости от этих условий, начальная фаза (3i может иметь любое значение. Таким образом, изучаемое периодическое движение не определяется однозначно теми заданными стационарными внешними условиями, в которых оно происходит. Одна из величин — начальная фаза скорости — остается произвольной. Можно сказать, что это движение обладает одной степенью свободы, между тем как стационарное движение, полностью определяющееся внешними условиями, не обладает степенями свободы вовсе. [c.142] Вернуться к основной статье