ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Напряжения в упругом теле. Общий случай из "Механика Изд.3 " Рассмотренные в предыдущих параграфах примеры показывают, что на различных площадках, проходящих через определенную точку нагруженного тела, действуют различные напряжения, но они закономерно связаны друг с другом. В самом общем случае, при любом нагружении, совокупность всех возможных напряжений в окрестности точки (на всех площадках, проходящих вблизи точки) определяется шестью величинами (числами), которые представляют собой компоненты симметричного тензора второго ранга. Тензорами удобно пользоваться при описании напряжений и других физических величин. [c.297] Для того чтобы представить себе связь между напрял еннями на различных площадках, проходящих вблизи данной точки, рассматривают равновесие бесконечно малого тетраэдра, вырезанного из тела вблизи этой точки. Предположим, что в рассматриваемой точке тела распололсено начало прямоугольной системы коордннат (рис. 236), будем отмечать оси цифрами 1, 2, 3 н проекции векторов на эти оси — соответствующими цифровыми индексами. Площадка, нормаль к которой обозначена единичным вектором V, проходит вблизи точки О и образует вместе с координатными плоскостями тетраэдр АВСО. [c.297] На грани этого тетраэдра дей- ствуют усилия со стороны остальных частей тела. Напишем условие равновесия выделенного объема тетраэдра АВСО под действием этих усилий. Предварительно заметим, что площадь грани АВС, равная 5, связана с йЗх — площадью грани, нормальной к оси 1, следующим равенством йЗг = = VI (18, где VI — косинус угла между V и осью 1. Аналогично, и = VзdS здесь с132 и dSз — площади граней тетраэдра, нормальных к осям 1, 2 я 3 соответственно. [c.297] Обозначим усилие на площадке 5 через avdS, где — напряжение на этой площадке (вектор). На каждой площадке можно рассматривать два противоположных усилия одно представляет собой силы, приложенные со стороны частиц, находящихся по одну сторону площадки, к частицам, находящимся по другую сторону (например в (18 на рис. 237, а), второе (—а (18) представляет собой противодействующее усилие. По определенному условию различают положительную и отрицательную стороны площадки. [c.297] К площадке компонента усилия. Обычно растягивающие нормальные напряжения считают положительными, а сжимающие — отрицательными. Положительной стороной площадок на координатных плоскостях считают ту сторону, в которую направлена третья ось, единичный вектор этой оси направлен от минуса к плюсу. [c.298] Положительная сторона площадки 5 находится снаружи тетраэдра (см. рнс. 238, где показано сечение тетраэдра плоскостью ab , нормальной к оси 1). [c.298] Силами, приложенными к частицам, находящимся внутри объема тетраэдра (массовыми силами), пропорциональными плотности вещества (силами тяготения, силами инерции), можно пренебречь, так как объем тетраэдра — бесконечно малая величина. третьего порядка, а поверхность его — второго порядка. [c.299] Заметьте порядок индексов первый — номер оси, второй — площадки, вх, е у вз — единичные векторы осей координат 1, 2, 3 соответственно. Компоненты с одинаковыми индексами ац, 022, (Т33 — нормальные к площадке напряжения, с различными индексами аз1. —касательные напряжения. [c.299] Компоненты касательных напряжений на площадках и нормальные к оси 5, направлены к ребру по этой оси (или от ребра) и равны друг другу. [c.301] Таким образом, для определения напряжения в окрестности точки нужно задать не девять, а только шесть чисел тензор напряжения симметричный, его компоненты с разными индексами попарно равны друг другу (см. (85.7), (85.8)) иногда это называют условием парности касательных напряжений. [c.301] Напряжения 022 положительны (растягивающие), напряжения Оц отрицательны (сжимающие). [c.302] Оси главных напряжений находятся таким же путем, как и главные оси симметричного тензора момента инерции ( 64), отличие только в том, что для тензора момента инерции моменты относительно главных осей — всегда положительные величины, здесь же напряжения вдоль главных осей могут быть как положительными (растягивающими), так и отрицательными (сжимающими выделенный объемчик). Поэтому, если построим поверхность, аналогичную эллипсоиду инерции, то, вообще говоря, получим центральную поверхность второго порядка, т. е. поверхность эллипсоида или гиперболоида. [c.302] Вернуться к основной статье