ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы П-теорема и метод подобия из "Единицы физических величин и их размерности " Рассматривая приведенные примеры, мы приходим к выводу, что анализ размерностей не может являться универсальным методом, позволяюшим автоматически находить интересующие нас зависимости между физическими величинами, участвующими в том или ином процессе. Применение анализа размерностей требует во многих случаях удачного выбора системы единиц, учета размерных постоянных, которые могут входить в выражения для законов, управляющих данным процессом, или в определения физических величин. Нередко требуются такие дополнительные предположения, которые приходится принимать интуитивно. [c.90] Сз щественную помощь при анализе размерностей оказывает так называемая П-теорема, к доказательству и формулировке которой мы сейчас обратимся. [c.90] Условие абсолютного значения относительных количеств требует, чтобы уравнение (3.49) было справедливо при любом размере основных единиц. Переход к другой системе, с другими определяющими соотношениями, может привести к тому, что либо появятся новые размерные постоянные, либо исчезнут некоторые из входивших в уравнение (3.49). [c.91] Пусть при нашем выборе величин, единицы которых приняты за основные, из общего числа п величин к обладают независимыми размерностями. Например, если в уравнение (3.49) входят значения длины, времени, скорости и плотности вещества, то независимыми в системах СГС и СИ будут размерности длины, времени и плотности вещества (Ь,Т и Ь М), а зависимой — размерность скорости (ЬТ ). [c.91] Будем считать, что в уравнении (3.49) обладают независимыми размерностями первые к величин (от й до Ой), а зависимыми — остальные (от а +х до а ). Независимость размерностей первых к величин позволяет их считать основными и придать им самостоятельные размерности А], Аг,. .., А , т. е. [c.91] Полученный результат и представляет собой П-теоре-ыу, которую можно сформулировать следующим образомз если п величин связаны функциональной зависимостью и из них к обладают независимыми размерностями, то из этих величин можно образовать п — к безразмерных комбинаций. Чем меньше эта разность, тем более определенным будет решение задачи. При п—к= задача становится наиболее определенной и, как правило, однозначной. Выделяя из общего числа величин ту, зависимость которой от остальных мы хотим определить, мы сможем выразить искомую зависимость в виде явной функции. [c.92] Проиллюстрируем сказанное примерами, для чего прежде всего воспользуемся теми задачами, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе. [c.92] Уравнение (3.55) равносильно уравнению (3.1), с той только разницей, что все показатели имеют обратные знаки. [c.93] Функция ф(р2/ р1) данными задачи не определяется. Разумеется, задача была бы еще более неопределенной, если бы мы сохранили лишь три основные единицы. [c.95] Теоретический расчет дает для С значение 1/18. [c.95] Легко видеть, что формула (3.65) описывает все случаи движения шарика в вязкой жидкости, как при р1 р2, так и при р1 р2, вплоть до р1 = О, поскольку V может принимать как положительное, так и отрицательное значение. [c.96] Приведенные примеры еще раз показывают, что при применении анализа размерностей, наряду с достаточно очевидными приемами, приходится вооружаться интуицией не только при определении величин, существенных для данной конкретной задачи, но и при подборе основных единиц и даже записи размерностей. Так, в последней задаче не очевидно было, что размерность ускорения свободного падения следовало записать не ЬТ , а РМ ). При этом можно отметить, что сама по себе П-теорема ничего нового не добавляет к изложенному выше способу применения анализа размерностей. Однако в ряде случаев она позволяет проводить анализ в более удобном виде и представлять результат анализа в разных формах в зависимости от того, какие параметры нас интересуют. Основное ее значение состоит в том, что с ее помощью удобно вводить так называемые безразмерные критерии подобия. Такими критериями в принципе могут быть любые из безразмерных комбинаций величин, определяющих исследуемое явление. [c.96] Введение критериев подобия оказывается особенно удобным и в тех случаях, когда сведения для полного описания явления недостаточны или строгое решение за- дачи представляет большие математические трудности. [c.97] Введение критериев подобия оказалось весьма плодотворным при решении разнообразных задач аэро- и гидромеханики, теплопередачи и др. Особенно важно то, что с помощью метода подобия можно исследовать различные явления на моделях. Так, например, критерий Рейнольдса (который применим не только к течению жидкостей в трубах, но и к обтеканию жидкостью погруженных в нее тел) позволяет изучать сопротивление, испытываемое телами в потоке жидкости, если заменить тела геометрически подобными моделями меньших размеров и соответственно увеличить скорость потока. [c.97] В заключение заметим, что составление безразмерных комбинаций бывает полезным и в том случае, когда задача без больших затруднений решается обычным путем. Преобразовав решение таким образом, чтобы определяемая величина была представлена как функция от ряда величин, из которых хотя бы часть может быть собрана в безразмерные комбинации, можно получить выражение, удобное для анализа и обобщений. [c.98] Вернуться к основной статье