ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнение первого порядка из "Нелокальные проблемы теории колебаний " Как обычно, будем предполагать, что F(x, t) определена, непрерывна и удовлетворяет условию единственности при,.всех X, t к F х, t- -m) F (х, /). [c.120] Рассмотрим решение x= b t) уравнения (9.1) с начальным данным ( ) ((d) = ср (0). Из периодичности F х, t) следует. [c.120] Рассмотрим решение л = х (О с начальным данным х (0)= а. Покажем, что оно периодическое. Положим (/) = (р (/- -Ы). Так как правая часть уравнения (9.1) т-периодична по t, то каждая из функций представляет собой решение. [c.121] Кроме того, из определения р (/) и соотношения (9.5) вытекает, что (р (0)- а при Л- -со. Следовательно, по теореме об интегральной непрерывности (со)- х(ш) при Л- оо. Но (р (т) = ср((й- -1)и))- а при к- со. Отсюда вытекает, что Х( ) = = Х(0)- Таким образом, решение л = х(0 имеет период т. [c.121] Это доказывает соотношение (9.6). [c.121] Теорема 9.2. Если изолированное периодическое решение X = i t) уравнения (9.1) устойчиво по Ляпунову, то оно асимптотически устойчиво. [c.122] Доказательство. По h, взятому из определения изолированного периодического решения, найдем такое 8 О, что все решения с начальными данными л (0) — х(0) удовлетворяют неравенствам (9.8) при i 0. Пусть x — — решение уравнения (9.1), такое, что р(0) — Х( ) - Это решение не может быть периодическим, так как x — x(i) изолировано. Следовательно, p(i) должно асимптотически приближаться к периодическому решению, лежащему в полосе (9.8). Но таким периодическим решением может быть только х(0- Таким образом, все решения уравнения (9.1) с начальными данными при t = 0, мало отличающимися от х(0) стремятся к х(0 при i— + 00. [c.122] Это и доказывает теорему. [c.122] Теорема 9.3. Любое решение ср(Л уравнения (9.1) ограничено при возрастании I либо сверху, либо снизу. [c.123] Последнее неравенство вместе с неравенством (9.11) противоречит теореме единственности. [c.124] Введем в рассмотрение функцию последования р с). Пусть, как обычно, x t, с. 0)—решение (9.1) с начальными данными при / = 0. х = с. Предположим, что x t, с, 0) определено и непрерывно при О / ш тогда функция р задана в точке с и р с) = х ш, с, 0). Хорошо известно, что функция р с) аналитична в точке с, если x t, с, 0) [a, Ь при t [О, ш]. [c.124] Теорема 9.4. Если в окрестности любой точки Xq Iu, Ь функция F х, t) представима в виде (9.12), то либо все решения, целиком лежащие в полосе а х Ь, периодические, либо в этой полосе располагается не более чем конечное число периодических решений. [c.124] Теорема 9.5. Уравнение (9.13) может иметь лишь конечное число периодических решений. [c.126] периодические. Но если все решения, лежащие в полосе I X1 а, периодические, то существует периодическое решемиг, имеющее точки на прямой х = а. Это невозможно, так как такое решение уходит в бесконечность. Таким оГразом, уравнение (9.13) может иметь лишь конечное число периодических решений. [c.126] Предположим теперь, что уравнение (9.13) с четным п имеет периодические решения и пусть х = (р(() — наибольшее , а х = ( ) — наименьшее из них. Тогда любое решение, начинающееся в полосе ф ( Х х ср ( ), при всех i остается в этой полосе и либо само является периодическим, либо стремится к некоторым периодическим как при -- -оо, так и при - — оо. Если лТд ( о) то решение л ( . Хо, о) нри /— — оо асимптотически приближается к л = ср(0. 1 при возрастании времени уходит в бесконечность. Если же х ]1((о), то решение х —х( , лГд, д) при - - -оо стремится к д = ( ), а при убывании времени уходит в бесконечность. [c.127] Таким образом, качественная картина поведения интегральных кривых уравнения (9.13) целиком зависит от периодических решений. [c.127] Теорема 9.6. Уравнение (9.21) не может имет более двух периодических решений. [c.128] Но функции х , Х2 и J 3 ш-периодичны, поэтому левая честь последнего равенства равна нулю. С другой стороны, Х,2 — J j О по предположению следовательно, правая часть последнего равенства положительна. Полученное противоречие свидетельствует о том, что уравнение (9.21) не может иметь более двух различных периодических решений. [c.129] Теорема 9.7. Уравнение (9.23) не может иметь более трех периодических решений. [c.129] Вернуться к основной статье