ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Достаточные условия диссипативности для многомерных систем из "Нелокальные проблемы теории колебаний " В этом параграфе мы будем изучать некоторые нелинейные системы с точки зрения их принадлежности к классу С-систем. [c.51] Отсюда в силу принципа математической индукции и следует справедливость равенства (3.5) при А=1, 2.и. [c.53] Кроме того, в дальнейшем будем предполагать, что вещественные части всех собственных чисел матрицы А отрицательны. [c.55] Установленное неравенство позволяет доказать следующее утверждение. [c.58] Доказательство. Рассмотрим функцию V = — 5. Из вида этой фуикции и неравенства (3.19) следует, что функция эта удовлетворяет всем условиям теоремы 2,5, ссылка иа которую и доказыват наше утверждение. [c.58] Доказательство. Пусть по-прежнему У = — 5. Тогда из неравенства (3.19) и из доказательства теорем 2.4 и 2.5 легко вывести, что при достаточно большом А множество Vпереходит в себя при преобразовании Т, Но функция V есть определенно-положительная квадратичная форма следовательно, множество V Л гомеоморфно замкнутому шару. Отсюда в силу теоремы Брауэра следует, что преобразование Т имеет в множестве У Л неподвижную точку следовательно, система (3.1) имеет гармонику. Теорема доказана. [c.59] Теорема 3.3. Пусть функции /, непрерывно дифференцируемы и - —/ 0(1 = 1, 2.. ... ), пусть. [c.59] Рассмотрим область ПА Н ./гЛ. Так как 2 I I 11 11. [c.60] Отсюда и из теоремы 2.5 следует доказываемое утверждение. [c.60] Из неравенства (3.27) и теоремы Брауэра вытекает утверждение следующей теоремы. [c.60] Теорема 3,4. Если система (2.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, то она имеет хотя бы одну гармонику. [c.60] В следующих двух параграфах мы будем исследовать диссипативность некоторых конкретных систем второго и третьего порядков, встречающихся в приложениях. [c.60] Вернуться к основной статье