ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие теоремы о диссипативных системах из "Нелокальные проблемы теории колебаний " Обозначим через Л ( , о) решение системы (2.1) с начальными данными т- е. X Х , 1(,)=Хо. [c.29] Из самого определения следует, что все решения X t, Xq, io) D-системы продолжимы на все моменты времени t tQ. [c.29] В этом и двух следующих параграфах мы будем изучать системы, принадлежащие к классу D-систем. [c.29] Теорема 2.2. Пусть система (2.1) диссипативна. [c.31] Так как последовательность Xi ограничена, то мы можем считать ее сходящейся (в противном случае мы перешли бы к соответствующей последовательности). [c.32] Это противоречит соотношениям (2.15) и (2.16), что н доказывает существование числа h со свойством (2.14). [c.32] Покажем, что число h — требуемое теоремой. Возьмем произвольную точку X А. Из (2.2) следует, что существует такое натуральное к, что ЦГ А ]] / . Но тогда и для всех X, для которых ] Х — Х достаточно мало, имеем II7 А II R. [c.32] Следствие 2.1. Если система (2.1) диссипативна, то ( она допускает хотя бы одно периодическое решение. [c.32] Действительно, возьмем в качестве шара Л, фигурирующего в теореме 2.2, шар Н. Из соотношения (2.13) следует, что Г где под Я понимается замыкание шара Н. Отсюда по известной теореме Брауэра следует, что в шаре Н имеется неподвижная точка Х преобразования Г Но тогда ясно, что решение X t, Л д. 0) имеет, период, равный mk(h). [c.32] Введем в рассмотрение непустое множество / = Д Т Л. [c.33] Таким образом, множество / инвариантно относительно преобразования Т. [c.34] Пусть М и N — два точечных множества. Будем через р М, Ы) обозначать расстояние между ними. [c.35] Введем множество всех решений X Хд, 0) при Хд /. Обозначим через 5 множество точек пространства X, Ь, заполняемое этими решениями. [c.36] что множество 5 ограничено и замкнуто. Это множество обладает еще рядом замечательных свойств. Для того чтобы сформулировать эти свойства, введем следующие определения. [c.36] Определение 2.2. Будем говорить, что непустое множество М (и-)-1)-мерного пространства X, / 2-периодично, если из соотношения X, О 6 следует соотношение (X, t- -lQ) M при любом целом I. [c.36] Определение 2.3. Будем говорить, что непустое множество М ( -+-1)-мерного пространства X,t инвариантно, если оно состоит из целых интегральных кривых системы (2.1). т. е. из соотношения (А о, следует (X Хд, tQ),t) M при всех тех /, при которых решение X t, Хд, д) существует. [c.36] Определение 2.6. Инвариантное множество Ж называется устойчивым в целом, если оно устойчиво и для всякого решения системы (2.1) выполняется соотношение (2.31). [c.36] Отметим, что определение устойчивости инвариантных множеств динамических систем было дано Барбашиным [12]. [c.36] Нетрудно видеть, что множество 5 ш-периодично и инвариантно. Докажем, что оно устойчиво в целом. [c.36] Вернуться к основной статье