ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория иерархической связи из "Синергетика конденсированной среды " Как показывает пример спиновых стекол [66], при значительном удалении от равновесия система теряет эргодичность, в результате чего ее фазовое пространство разбивается на кластеры, которые отвечают структурным уровням, иерархически соподчиненным друг другу. Такое поведение присуще не только спиновым стеклам, но и всем системам, значительно удаленным от равновесия [58]. Основная часть настоящей главы посвящена исследованию систем такого рода в рамках представления об иерархически соподчиненных структурах. С этой целью в настоящем параграфе излагается статистическое описание иерархической системы, которое представляет основу дальнейшего изложения [65]. [c.126] Приступая к рассмотрению, следует отметить, что несмотря на повседневное проявление иерархичности в социуме и осознание ее роли в других системах [98] теория иерархически соподчиненных ансамблей получила свое развитие только при описании динамики спиновых стекол [66, 85, 99]. Основная идея состоит в том, что иерархически соподчиненные объекты образуют ультраметрическое пространство, геометрическим образом которого является дерево Кейли (см. рис. 33). Степень иерархической связи ш (родства — в генеалогии) объектов, отвечающих узлам дерева на заданном уровне, определяется числом шагов I до общего предка, которое задает расстояние в ультраметрическом пространстве [100]. Определим возможные типы функции у 1) для различных деревьев. [c.126] Проведем сравнение использованного выше континуального приближения и точного решения уравнения (2.17), исходя из его представления в форме (2.24). Из графиков функций ф х) и ф х) на рис. 34 видно, что система за несколько итераций достигает нулевого значения X, если начальное значение Хд меньше критического х . При решение имеет вид (2.25) и в случае х х наблюдается неограниченный рост ж. В последнем случае величина Р экспоненциально стремится к постоянному значению. Согласно рис. 35, при этом совпадение точного решения и континуального приближения наблюдается уже для нескольких иерархических уровней. Интересно отметить, что приближенное решение (2.31) сводится к точному (2.26) при условии - 1 и 1п в/П, отвечающем 1п в I). [c.130] Из сравнения равенств (2.18) и (2.20) ввдно, что при п 1 иерархическая система, представляемая деревом Фибоначчи (рис. 33 в), сводится к рассмотренному случаю регулярного дерева (рис. 33 а), если параметры S, W заменить на г, W/f соответственно. При этом фрактальная размерность D = Inт/ In 2 0,6942 [18]. [c.132] Из сравнения этих равенств с (2.31), (2.32) видно, что переход от регулярного дерева к вырожденному приводит к замене экспоненциальных зависимостей логарифмическими. [c.132] В этом смысле можно говорить, что регулярное дерево представляет слабую иерархическую связь. Согласно (2.28) особое место занимает случай тоталитарной иерархии, когда фрактальная размерность I) = 1, и глубина связи к = оо — иерархическая связь является идеальной. Однако интенсивность иерархических объектов при этом по-прежнему экспоненциально спадает на расстоянии ( = I) = 1, т. е. несмотря на идеальное соподчинение тоталитарная система обречена на нулевую эффективность. Социальный эксперимент, подтверждающий этот вывод, хорошо известен. [c.133] При переходе к нерегулярным деревьям, случай которых является наиболее распространенным, иерархическая связь обеспечивает соподчинение всех уровней и затухает степеннйм образом. Самое медленное, логарифмическое затухание требует построения вырожденной иерархии (рис. 33 б). Она осуществляется единственным объектом на каждом уровне и, как нетрудно видеть, отвечает системе отбора. Обоим указанным случаям присуща сильная иерархическая связь, которая осуществляется между всеми уровнями, в результате чего параметр Д в равенствах (2.37)-(2.40) определяет не глубину связи (2.28), а скорость ее затухания. В частности, при идеальном иерархическом соподчинении (В = 1) имеем Д = О, и подобно регулярным системам иерархическая связь ад(() не затухает. Однако при этом интенсивность Р(С) спадает с показателем jD = 1. [c.133] Вернуться к основной статье