ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Течения, близкие к свободномолекулярным из "Динамика разреженного газа Кинетическая теория " В установившемся режиме давление в резервуаре должно быть таким, чтобы поток молекул из резервуара через трубку был равен потоку молекул через трубку в резервуар. Так как молекулы внутри трубки не сталкиваются между собой, оба потока могут быть вычислены независимо. [c.381] Здесь координаты физического пространства отнесены к характерному размеру течения или обтекаемого тела L, скорости молекул— к характерной скорости U. Как будет показано ниже, в общем случае в одной и той же точке X отношение U к О — характерной относительной скорости молекул—для различных групп молекул может иметь различный порядок. Поэтому течение в общем случае нельзя характеризовать одним параметром или одним числом Кнудсена. Однако в этом параграфе для простоты будем считать, что рассматриваемое течение может быть охарактеризовано одним параметром i или, другими Словами, будем считать, что все молекулы имеют в среднем одинаковую длину свободного пробега Я,. [c.381] Решение уравнения (5.1) естественно отыскивать либо в виде ряда по , либо методом последовательных приближений, приняв за исходное решение для свободномолекулярного течения ( - 0 или Кп - оо). [c.382] Первое из этих уравнений есть уже знакомое нам уравнение для свободномолекулярных течений. Таким образом, решение нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана сведено к решению рекуррентной системы линейных дифференциальных уравнений. [c.382] Легко видеть, что к системе уравнений, эквивалентной (5.3), приводит и метод последовательных приближений, если за первое приближение взять свободномолекулярное решение и для получения каждого последующего приближения подставлять предыдущее решение в правую часть уравнения Больцмана. [c.382] Метод последовательных приближений можно несколько видоизменить, применив его к одной из интегральных форм уравнения Больцмана. [c.382] Здесь дифференцирование ведется вдоль траектории молекул со скоростью Перепишем это уравнение в интегральных формах (ср. [c.382] Последовательные приближения строятся, как и выше, путем подстановки предыдущего приближения в правую часть уравнения. При этом имеется известный произвол в выборе функции f ). Можно в каждом приближении при вычислении функции f I) интегрировать от границ области, т. е. точки выбирать принадлежащими границе. Можно однако идти и более мелкими шагами, выбирая, например, Xi = X2 — где — некоторый временной интервал. Чем меньше интервал A/ , тем большее число приближений необходимо для получения искомого решения. В то же время можно ожидать, что при уменьшении А процесс будет сходиться в тех случаях, когда при ббльших А или при выборе на границе процесс не сходится. [c.383] Хотя характер сходимости ни для одной из упомянутых вычислительных схем не выяснен, тем не менее можно думать, что для расчета течений в конечной области с характерным размером порядка L все они примерно эквивалентны ). [c.383] Однако легко показать, что для бесконечной области схема последовательных приближений, основанная на уравнениях (5.3), (5.4) и (5.6), приводит к появлению секулярных членов. [c.383] Ограничим нашу задачу получением лишь первой поправки к свободномолекулярному значению для функции распределения на теле. [c.385] Пусть требуется, например, найти функцию распределения в некоторой точке Х2 Х на теле. [c.385] Будем считать, что при г R справедливо разложение (5.10) и аналогичные разложения для гидродинамических величин. В то же время, так как мы интересуемся асимптотическим решением при е- 0, всегда можно выбрать Я столь большим, что R X. [c.386] Здесь /г° —свободномоле1 улярное значение функции распределения отраженных молекул на теле. [c.387] Перенося результаты, полученные для модельного уравнения, па уравнение Больцмана, можно утверждать, что в трехмерном случае первая поправка к функции распределения на теле порядка е может быть получена как с помощью уравнения (5.6), так и с помощью уравнения (5.7) путем подстановки свободно.молекулярной функции распределения без учета затухания в их правую часть. В то же время первая итерация от свободномолекулярного течения не дает правильной поправки порядка е па больших расстояниях от тела. Сходимость неравномерна по пространству. При фиксированном числе Кнлдсена, по-видимому, последующие итерации исправляют решение, и на больших расстояниях. Однако интервал чисел Кнудсена, для которого итерационный процесс сходится, еще не выяснен. [c.388] Чаще всего под теорией первых столкновений понимают теорию, в которой учитываются лишь столкновения между набегающими н отраженными молекулами. Выше показано, что в пространственном случае учет лишь первых столкновений достаточен для получения поправки порядка е на теле. Однако в общем случае необходимо учитывать как столкновения отраженных молекул с набегающими, так и столкновения молекул обеих групп между собой. По мере увеличения чисел Маха набегающего потока роль двух последних видов столкновений уменьшается. В предельном случае гипертерми-ческого течения (М=со) столкновения набегающих молекул отсутствуют. Если при этом скорости отраженных молекул много меньше скорости набегающих молекул, то импульс и энергия, приносимые на тело в результате столкновения отраженных молекул между собой, малы по сравнению с импульсом и энергией, приносимыми на тело в результате столкновения отраженных молекул с набе1-ающими. [c.389] Получение первой поправки к функции распределения как с помощью формулы (5.6), так и с помощью формулы (5.7) сводится к вычислению многомерных интегралов с громоздким ядром. Расчеты упрощаются для гипертермического набегающего потока, так как сокращается кратность интегралов, а также существенно упрощается расчет столкновений. [c.389] Вычисление многократных интегралов удобно выполнять методом Монте-Карло. Однако проще рассчитывать одностолкновительные течения непосредственно методом Монте-Карло, не выписывая интегралов. -Как и выше, рассчитывается функция ). Зная -Щ на теле, по закону отражения молекул находим функцию I). Из равномерно распределенных по поверхности случайных чисел выбираем два числа, определяющих точку поверхности. Далее, выбирая три случайных числа с плотностью вероятности, соответствующей Щ, выбираем некоторую отраженную молекулу, т. е. определяем ее скорость и направление. Разыгрывая далее случайные, величины, соответствующие вероятностям свободного пробега отраженной молекулы и параметрам столкновения, рассчитываем результат столкновения отраженной и набегающей молекул. Если после столкновения одна или обе молекулы попадают в какие-либо Ячейки на поверхности тела, то в этих ячейках запоминаются приносимые ими импульс и энергия. После этого выбирается новая отраженная молекула, и расчет повторяется. Здесь, как и выше, расчет существенно упрощается для гипертермического течения. Примеры расчетов методом Монте-Карло приведены в следующем параграфе. [c.390] Вернуться к основной статье