ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Течение Куэтта из "Динамика разреженного газа Кинетическая теория " Одной из простейших задач, для которой, однако, до сих пор не получено точное решение уравненит Больцмана, является задача Куэтта о течении и теплопередаче между параллельными бесконечными пластинками, движущимися друг относительно друга. На этом сравнительно простом течении опробованы почти все известные методы решения уравнения Больцмана. С другой стороны, задача имеет и самостоятельный интерес, так как позволяет прояснить характер течения вблизи поверхностей тел, обтекаемых разреженным газом. [c.252] Естественным обобщением этой задачи является задача о течении и теплопередаче между вращающимися коаксиальными цилиндрами. Опыты с цилиндрами позволяют сравнить результаты теории с экспериментом при различных давлениях газа между цилиндрами. [c.252] Решим вначале задачу, считая заданными температуры отраженных молекул Г и одну из величин и. Для определенности зададим п . Этим определяется уровень плотности. [c.254] 7) видно, что функция распределения в каждой точке течения разрывна по скоростям при =0. [c.255] Это уравнение содержит две неизвестные величины Т . Очевидно, что совершенно такое же уравнение, в котором нужно лишь поменять местами индексы плюс и минус, выполняется на верхней пластинке. Эти два уравнения позволяют выразить через Т +. Решение этой системы не представляет труда. Однако ввиду громоздкости выписывать его для общего случая не будем. [c.256] Таким образом, скорость и температура газа (в том числе и у стенок) не равны скорости и температуре стенок. Напряжение трения и теплопередача не зависят от расстояния между пластинками, т. е. определяются соответственно разностью скоростей и температур, а не их градиентами. [c.257] Легко видеть, что теми же свойствами обладает и решение полного уравнения Больцмана для молекул с конечным радиусом взаимодействия. В этом случае при 0 функция распределения стремится к JJJ2 (см. 2.7). [c.258] ЧТО качественные выводы, полученные с помощью этого уравнения, будут справедливы и для уравнения Больцмана. Модельное уравнение можно трактовать как уравнение Больцмана для молекул со специфическим законом взаимодействия, близким к максвелловскому. [c.259] Здесь использовано соотношение , = kT jA из 3.6, где [х — коэффициент вязкости. Величина а обратно пропорциональна числу Кпудсена. [c.259] Это интегральная форма уравнения (2.32), которую, очевидно, можно получить также линеаризацией уравнения (8.25) главы II. [c.261] Построение решения для течений, близких к свободномолекулярным, т. е. для малых а, можно вести методом последовательных приближений, беря за первое приближение полученное свободномолекулярное решение. [c.262] Легко видеть, что напряжение трения, вычисленное с помощью (2,41), совпадает, с точностью до величин высшего порядка, с только что полученным. [c.263] Это уравнение решено численно. На рис, 20 приведены результаты численного решения, а также дано сравнение со значениями скорости, посчитанными по формуле (2.45), полученной для малых а. [c.263] Процесс последовательных приближений можно продолжить. Можно показать 2), что процесс сходится при любом конечном а. Однако сходимость ухудшается по мере увеличения а. Практически этот метод приемлем лишь при а 1, так как при больших а требуется слишком много приближений. [c.263] К тому же выводу приводит рассмотрение и общего ряда по V/. [c.265] Таким образом, функции а+ равны а , и снова приходим к ряду Гильберта (2,47), с помощью которого, как уже отмечалось, нельзя удовлетворить граничным условиям. [c.265] Тем не менее, если не пытаться удовлетворить уравнению (2,32) точно, то функцию распределения в виде полиномов типа (2.48) можно с успехом исиользовать для отыскания решения в среднем с помощью метода моментов. [c.265] При а- 0 решение стремится к точному свободномолекулярному решению ф = р 1. При а— оо решение стремится к точному навье-стоксовскому решению ф=2х,. [c.266] Вернуться к основной статье