ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вывод уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля из "Динамика разреженного газа Кинетическая теория " В предыдущем параграфе дан вывод уравнения Больцмана непосредственно для одночастичной функции распределения х, ). Установим теперь связь уравнения Больцмана с общими положениями статистической механики. [c.43] Если представить ансамбль в виде достаточно большого (в пределе бесконечного) числа систем q/V , то плотность вероятности Рд, равна отношению числа фазовых точек ансамбля n z) в единице фазового объема к о4Г. [c.44] Очевидно, что фазовые траектории различных систем ансамбля не могут пересекаться, так как если бы это случилось, то мы получили бы, что одна и та же механическая система (системы ансамбля тождественны) может двигаться различным образом при одних и тех же начальных условиях, что невозможно. [c.44] Это — хорошо известное уравнение Лиувилля. [c.45] Здесь мы пренебрегли s по сравнению с М. Тот факт, что мы сначала считали газ заключенным в конечном объеме V, не является существенным. Можно перейти к пределу V oo при Л/ со и й= A//V= onst. При этом система уравнений (3.16) не изменится. [c.48] Это уравнение утверждает тот очевидный факт, что s-частичная функция распределения вдоль фазовых траекторий s молекул изменяется лишь в результате взаимодействия (столкновений) с другими молекулами. [c.49] Из физических соображений ясно, что, кроме диаметра взаимодействия (I й времени столкновения Тс, важную роль должны играть длина пробега К и время между столкновениями т, а также характерный размер течения L и характерное время течения 0. Для краткости мы будем в дальнейшем называть эти масштабы d-, к- и L-масштабами соответственно. [c.50] Соответствующий этим переменным масштаб будем называть v-масштабом (v = I. 2,. . . ). [c.51] Последний интеграл равен нулю по тем же причинам, что и интегралы (ЗЛО), Как мы увидим ниже, первый интеграл при выполнении условия хаоса переходит в больцмановский столкновительный член. Второй интеграл в общем случае отличен от нуля, и, следовательно, уравнение не сводится к уравнению Больцмана. [c.52] Ввиду однородности системы, если А (0) —О для всех s и любых комплексов, то и А ( ) = 0, и, следовательно, функции не зависят от ta и Хю. [c.53] Таким образом, для получения уравнения Больцмана нам потребовалось лишь два условия, условие молекулярного хаоса а условие однородности в указанном выше смысле. [c.55] С другой стороны, очевидно, что столкновения нарушают условия хаоса. Действительно, положение и скорости только что столкнувшихся молекул коррелированы. Однако вероятность вторичного столкновения этих же молекул стремится к нулю при Л/- со. Прежде чем молекулы столкнутся вторично, каждая из них испытает огромное число столкновений с другими молекулами. Поэтому можно ожидать, что условие хаоса сохраняется, если оно выполнялось в начальный момент. [c.55] Это уравнение записано в безразмерных переменных (3,15), Когда молекулы 1 и 2 сближаются на расстояние jxj — A i 1, члены, определяющие их взаимодействие, становятся в этих переменных порядка единицы. До их сближения изменение корреляционной функции определяется интегральными членами столкновений с третьими молекулами, перед которыми стоит малый для больцмановского газа параметр е. [c.56] Аналогичное уравнение можно написать для 33, 2,13 и т. д. В уравнение для трехчастичных корреляционных функций войдут интегралы от четырехчастичной корреляционной функции и т. д. [c.56] При j = Kn 1 мы теперь имеем два существенно разных масштаба малый Х-масштаб и большой /.-масштаб. [c.57] Важно очистить, что для существования уравнения Больцмана необходимо, чтобы выполнялось условие хаоса лишь в -масштабе, когда молекулы находятся в одной точке в /.-масштабе. [c.57] Если же частицы нахол,ятся в разных точках ( , Хц) в L-мас-штабе, то условие хаоса может не выполняться. Хаос в Я,-масштабе и есть собственно молекулярный хаос. [c.57] Классическим примером течения, в котором имеется хаос в Я,-мас-штабе (на молекулярном уровне) и отсутствует хаос в /.-масштабе (на макроскопическом уровне), является гидродинамическая турбулентность, так как масштаб гидродинамической турбулентности L Я и 0 т. [c.57] Вернуться к основной статье