ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Ланжевена для гидродинамических флуктуаций из "Статистическая механика неравновесных процессов Т.2 " Динамическую теорию крупномасштабных флуктуаций можно сформулировать на языке уравнений движения для гидродинамических нолей, рассматриваемых как случайные неременные. Этот подход является далеко идущим обобщением известного метода Ланжевена в теории броуновского движения [112]. Он был впервые использован Ландау и Лифшицем [23] для описания линейных гидродинамических флуктуаций вблизи равновесия, а затем применялся многими авторами к различным конкретным задачам. [c.237] Таким образом, применимость стохастических уравнений (9.2.24) к описанию нелинейных гидродинамических флуктуаций требует дополнительного исследования. [c.238] Фактически требуется, чтобы средние значения флуктуаций (Afl (i i) Afln(i 2)), вычисленные с помощью линеаризованных стохастических уравнений (9.2.24), были равны средним, известным из теории равновесных флуктуаций. [c.238] Поэтому случайные силы в нелинейных стохастических уравнениях и интерпретация самих этих уравнений должны быть выбраны так, чтобы получались те же самые выражения для коэффициентов дрейфа и элементов диффузионной матрицы, которые следуют из микроскопической теории. Для некоторых простых моделей свойства случайных сил удается определить путем непосредственного вычисления собственных значений диффузионной матрицы [146], однако в более сложных случаях приходится прибегать к тем или иным эвристическим приемам. [c.239] Мы видим, что динамические свойства линейных гидродинамических флуктуаций можно описать с помощью универсальных случайных источников / , и свойства которых не зависят от значений коэффициентов переноса и температуры. [c.239] Формулы (9.2.29) подсказывают обобщение метода Ландау и Лифшица на случай нелинейных и неравновесных флуктуаций. Поскольку гидродинамические переменные а (г, ) = (г, ), j(r, ), е(г, ) изменяются со временем гораздо медленнее, чем q r t) и 7г (г, ), естественно предположить, что тензорная структура случайных потоков останется такой же, как для равновесных флуктуаций, однако множители. [c.239] Это утверждение эквивалентно теореме Кюри в обычной гидродинамике (см. раздел 8.2.4), согласно которой кинетические коэффициенты, построенные из равновесных корреляционных функций микроскопических потоков различной тензорной размерности, равны нулю. [c.239] что выражения (9.2.26) для регулярных потоков также следует изменить, поскольку вдали от равновесия эти потоки не могут зависеть от равновесных значений коэффициентов переноса. По аналогии со случайными потоками предположим, что новые выражения содержат затравочные коэффициенты переноса (9.2.32), т. е. [c.240] Подчеркнем еще раз, что все сказанное выше следует рассматривать лишь как наводящие физические соображения. Теперь мы должны показать, что стохастические уравнения (9.2.24), в которых случайные части потоков даются формулами (9.2.31), эквивалентны функциональному уравнению Фоккера-Планка (9.1.66). [c.240] Папомним, что уравнения (9.2.24) содержат члены, описывающие мультипликативный шум . Поэтому нужно выбрать подходящую интерпретацию этих уравнений. В теории гидродинамических флуктуаций наиболее естественна интерпретация Стра-тоновича, которая предполагает обычные правила замены переменных в нелинейных стохастических уравнениях (см. [42, 72]). Таким образом для флуктуирующих переменных можно использовать локальные уравнения состояния и термодинамические соотношения, рассмотренные в разделе 9.2.1. К вопросу о возможности других интерпретаций мы вернемся позже. [c.240] Для вывода уравнения Фоккера-Планка из стохастических уравнений гидродинамики (9.2.24) удобно записать их для набора переменных представляющих собой дискретные аналоги локальных переменных а (г, ) = (г, ), j(r, ), е(г, ) . Переход к дискретному описанию гидродинамических флуктуаций уже обсуждался в разделе 9.1.1, поэтому не будем на нем останавливаться. [c.240] Более того, если случайные потоки даются выражениями (9.2.31), то в непрерывном пределе уравнение (9.2.36) переходит в функциональное уравнение Фоккера-Планка (9.1.66), полученное методом неравновесного статистического оператора из уравнения Лиувилля ). Это очень важный момент, так как возможность различных интерпретаций уравнений (9.2.34) вызвала в свое время возражения против метода Ланжевена в теории нелинейных гидродинамических флуктуаций [67-69]. Частично эти возражения были сняты в работах [45, 166]. Полное доказательство эквивалентности интерпретаций стохастических уравнений для нелинейных гидродинамических флуктуаций было дано в [132]. [c.241] Эквивалентность различных интерпретаций уравнений (9.2.24) тесно связана с тем обстоятельством, что переменные а (г, ) = (г, ), j(r, ), е(г, ) соответствуют локально сохраняющимся величинам (см. приложение 9Г). Если бы случайные источники были введены в другие гидродинамические уравнения (например, в уравнение для энтропии или для температуры, а не в уравнение для энергии), то эквивалентность различных интерпретаций была бы утрачена. Иначе говоря, стохастические уравнения гидродинамики для различных наборов независимых переменных не обязательно имеют один и тот же вид в различных интерпретациях. Мы всюду будем пользоваться интерпретацией Стратоновича, благодаря чему отпадает необходимость изучать новые правила замены переменных, интегрирования и дифференцирования, которые приходится вводить, например, в случае интерпретации Ито. [c.241] Метод уравнения Фоккера-Планка и соответствующий нелинейный метод Ланжевена легко могут быть обобщены на многокомпонентные жидкости. Как было показано в параграфе 8.3, единственным новым обстоятельством является то, что в многокомпонентной жидкости существует несколько векторных диссипативных процессов, связанных с переносом энергии и вещества теплопроводность, диффузия и перекрестные эффекты. Поэтому случайные составляющие потока тепла и диффузионных потоков будут линейными комбинациями нескольких гауссовских переменных. Пример построения нелинейного метода Ланжевена для многокомпонентной жидкости можно найти в работе [132]. [c.241] Вернуться к основной статье