ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Диаграммная техника из "Статистическая механика неравновесных процессов Т.1 " Интересно отметить, что некоторые коллективные эффекты будут учтены, если в (3.2.5) мы опустим только функцию 3, описывающую неприводимые трехчастичные корреляции. Это приближение парных корреляций успешно применяется для систем с дальнодействующим потенциалом взаимодействия (например, для плазмы), поскольку члены, содержащие произведения 2 описывают динамику двух частиц в усредненном потенциале всех остальных частиц. [c.183] МИ распределения и корреляционными функциями легко доказать, что условие (3.2.8) эквивалентно групповому свойству (3.2.7) (см. задачу 3.7). [c.184] Отметим сначала, что для невзаимодействующих частиц 2 = О так как оба члена в правой части уравнения (3.2.10) содержат операторы взаимодействия iL -j. Следовательно, путем итераций уравнения (3.2.10) можно попытаться найти парную корреляционную функцию в виде степенного разложения по взаимодействию. В низшем приближении g xi,x2,t) определяется первым членов в правой части. Подставляя этот член в (3.2.4), получаем замкнутое кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения, справедливое с точностью до второго порядка по взаимодей-ствию. Чтобы найти из уравнения (3.2.10) следующее приближение (ж ,ж2, ) для парной корреляционной функции, подставим 2 = 9 в функционал 2- Заметим, однако, что мы должны также подставить в этот функционал д = д т. е. трехчастичную корреляционную функцию в первом приближении. Ее можно найти из интегрального уравнения (3.2.9) при 5 = 3. Принцип дальнейших итераций понятен. [c.184] что соответствующие алгебраические выражения становятся очень громоздкими уже после нескольких итераций. С другой стороны, когда межчастичное взаимодействие не мало, приходится рассматривать бесконечные последовательности итераций. Для упрощения намеченной выше итерационной процедуры удобно ввести диаграммное представление уравнений (3.2.9). Структура функционалов Qs указывает на наличие трех базисных элементов, которые возникают при построении диаграммного представления. Эти элементы и соответствующие им математические выражения показаны на рис. 3.2. Для одночастичной функции /1 = д не вводится специального графического представления будем считать, что правый конец любой свободной линии соответствует функции Д. [c.184] В дальнейшем ради простоты мы не будем на диаграммах указывать точками места соединений дуг и свободных линий. [c.185] Напомним теперь, что действие оператора свободной эволюции на переменные корреляционных функций преобразует их в г (г) = +р г/ш. Поскольку векторы расстояний Tij = - Tj преобразуются в векторы r j(r) = r j + (р- -р )г/ш, ясно, что при г —00. Таким образом, благодаря условию ослабления корреляций (3.2.7), последний член уравнения (3.2.13) обращается в ноль при е +0. Это очень важное обстоятельство, так как другие два члена в правой части уравнения (3.2.13) дают простое правило построения итерации произведения корреляционных функций. Действительно, мы видим, что в результате итерации одна из корреляционных функций заменяется соответствующим функционалом который, в свою очередь, может быть представлен некоторым блоком диаграмм. Схематическая иллюстрация этого приводится на рис. 3.5, где каждый из прямоугольников есть блок диаграмм, соответствующих функционалу Qs.. В случае, когда одной из корреляционных функций является = Д, итерацию следует проводить с помощью уравнения (3.2.4). В графической форме соответствующее правило показано на рис. 3.6. [c.186] Рассмотрим для примера одну из диаграмм графического представления корреляционной функции 2 7 изображенного на рис. 3.3. Результат итерации показан на рис. 3.4. Заметим, что в результате итерации появляются два типа диаграмм. Одни диаграммы имеют справа только свободные линии. На рис. 3.4 к этому типу относится только одна из трехчастичных диаграмм. Такие диаграммы не нуждаются в дальнейшей итерации, так как соответствующие им математические выражения содержат только одночастичные функции распределения. Другие диаграммы имеют дуги, изображающие корреляционные функции. Для того, чтобы выразить эти корреляционные функции через одночастичную функцию /i(x, ), необходимо продолжить итерационную процедуру. [c.187] При решении уравнений (3.2.9) методом итераций любая дуга может быть исключена. В пределе бесконечного числа итераций все дуги исчезнут и окончательные выражения для будут содержать только вклады сильно связных диаграмм со свободными линиями справа. Таким образом, правила диаграммной техники обеспечивают взаимно-однозначное соответствие между диаграммами и разложениями корреляционных функций по одночастичным функциям распределения. Иными словами, диаграммную технику можно использовать как графический метод решения цепочки ББГКИ. Такой подход обладает двумя важными достоинствами. Во-первых, диаграммы высших порядков составляются из отдельных блоков, каждый из которых, в свою очередь, соответствует некоторой последовательности диаграмм. Во-вторых, во всех порядках теории возмущений остаются только сильно связные диаграммы, которые, как мы вскоре убедимся, дают вклад в интеграл столкновений. [c.188] Вернуться к основной статье