ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Энтропия Гиббса из "Статистическая механика неравновесных процессов Т.1 " Из неравенства О w t) 1 следует, что 5q( ) 0. Только в частном случае, когда статистический оператор описывает чистое квантовое состояние, мы имеем 5q( ) = 0. [c.45] Мы вводим энтропию S как безразмерную величину. В этом случае температура Т имеет размерность энергии, что наиболее удобно для статистической механики. С другой стороны, термодинамическая температура, как правило, измеряется в Кельвинах. Соответствующая термодинамическая энтропия равна S = kS, где к = 1,38-10 Дж/К — постоянная Больцмана. [c.45] Аддитивность энтропии Гиббса в квантовом случае может быть доказана аналогично. Статистический оператор g t) описывающий два независимых смешанных квантовых ансамбля, есть прямое произведение статистических операторов д 1) = . [c.46] Приведенные выше рассуждения показывают, что энтропия Гиббса обладает тем же важным свойством аддитивности, что и термодинамическая энтропия. Кроме того, в разделе 1.3.7 мы увидим, что в равновесии гиббсовское определение энтропии (1.3.2) и (1.3.4) приводит к правильным термодинамическим соотношениям. Таким образом можно считать, что энтропия Гиббса полностью удовлетворяет требованиям к энтропии равновесных ансамблей. [c.46] Если обратиться к неравновесным статистическим ансамблям, то мы обнаружим, что в этом случае энтропия Гиббса имеет существенный недостаток. Покажем, что в отличии от термодинамической энтропии, энтропия Гиббса для изолированной системы не зависит от времени и, следовательно, не может возрастать при релаксации системы к равновесию. [c.46] Отсюда видно, что 5q( ) = 5q( o), т. е. энтропия Гиббса не зависит от времени. Другое доказательство заключается в дифференцировании выражения (1.3.2) по времени и последующем исключении dg/dt с помощью теоремы Лиувилля (1.1.19). Простые алгебраические преобразования дают dSQ/dt = 0. [c.46] мы доказали, что S t) 5( о)- Это означает, что энтропия, соответствующая крупноструктурной функции распределения, может возрастать. [c.48] ИЛИ усредненные таким же образом динамические переменные ). Операция (1.3.14) кажется более естественной, чем крупноструктурное сглаживание (1.3.9), так как она аналогична усреднению уравнений движения в нелинейной механике [9], которое сглаживает быстрые колебания относительно средней траектории. [c.48] Эта операция эквивалентна введенной для классического случая операции (1.3.14). [c.48] Необходимо подчеркнуть, что одно только огрубление статистических распределений не решает полностью проблему возрастания энтропии. Дело в том, что неравенство t) 5( о) для огрубленной энтропии выполняется как для времен t так и для 0- Таким образом, если энтропия возрастает при то она должна убывать при 0- С другой стороны, если мы предполагаем, что эволюция системы имеет смысл только при 0, остается непонятным, почему произвольный момент времени 0 играет особую роль. Еще одна трудность связана с размером фазовых ячеек АГ (или областей квантовых состояний АГ), которые используются для получения огрубленного среднего. В самом деле, более мелкий масштаб огрубления приводит к уменьшению роста энтропии, который стремится к нулю в пределе АГ 0. С другой стороны, сам факт возрастания физической энтропии не должен зависеть от масштаба огрубления. [c.48] Например, такое сглаживание функций распределения применялось Кирквудом [103] в теории броуновского движения. [c.48] В ответ на последнее возражение заметим, что для получения огрубленных средних значений динамических переменных нужно совершить два предельных перехода обычный термодинамический предельный переход V оо N/V = onst) и предельный переход АГ 0. Нет оснований полагать, что результат не будет зависеть от порядка, в котором совершаются эти предельные переходы. Огрубление функций распределения имеет смысл, если сначала вычисляется предел К оо, а уже затем АГ О, причем сходимость не является равномерной. Интересно, что Гиббс [13], проводя аналогию между стремлением классического статистического ансамбля к равновесию и перемешиванием в несжимаемой жидкости, вводил, по существу, процедуру огрубления фазовой функции распределения и отмечал отсутствие равномерной сходимости. [c.49] Во второй главе мы вернемся к определению неравновесной энтропии. Хотя мы не будем непосредственно использовать ни крупносруктурные распределения, ни сглаживание во времени, сама по себе идея усреднения статистических распределений окажется весьма полезной. [c.49] Вернуться к основной статье