ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Тензор кривизны. Тензор Эйнштейна из "Курс теоретической механики. Т.2 " В этом параграфе изложены дополнения к 210 т. I. Рассмотрим результат изменения последовательности повторного ковариантного дифференцирования некоторого вектора и В отличие от т. I, здесь изучаются не трехмерные, а многомерные пространства. Возможность этого обобщения была указана в 210 т. I. [c.505] Тензор четвертого ранга Rik.a- называется тензором кривизны или тензором Римана — Кристоффеля. [c.505] Конечно, обозначения индексов могут быть изменены, так как эти обозначения выбраны произвольно. [c.505] Рассмотрим связь между равенством (IV. 83) и теорией параллельного переноса вектора и в неевклидовом пространстве ( 210 т. I). [c.506] При параллельном переносе вектора в евклидовом пространстве (Ди)7 = 0. Действительно, в евклидовом пространстве существует декартова система координат с единичным метрическим тензором. В этой системе все символы Кристоффеля равны нулю. Следовательно, равны нулю компоненты тензора Римана — Кристоффеля. [c.507] Но тензор, равный нулю в одной системе координат, равен нулю во всех остальных системах (стр. 56 т. I). [c.507] необходимым условием существования евклидовой метрики пространства является обращение в нуль тензора Римана — Кристофсреля. [c.507] Это условие также достаточно. На доказательстве последнего утверждения мы не останавливаемся, отсылая читателя к специальной литературе ). [c.507] В неевклидовом пространстве тензор Римана — Кристоффеля не равен нулю. Примером такого пространства является криволинейная поверхность, отличающаяся от цилиндрической. [c.507] Простейщим примером евклидова пространства двух измерений будет плоскость. Так как основным отличием между поверхностью и плоскостью является кривизна поверхности, связанная с тензором Римана — Кристоффеля, то этот тензор называется также тензором кривизны, как было сказано выше. [c.507] Тензор кривизны антисимметричен относительно первой пары индексов К и V. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (IV.84). [c.507] Это тождество можно проверить, воспользовавшись равенством (IV. 84). [c.508] Этот инвариант находит применение в механике сплошной среды и в общей теории относительности. [c.509] При п = 3 в трехмерном пространстве) V = 6. [c.509] Вернуться к основной статье