ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближенная теория гироскопических явлений из "Курс теоретической механики. Т.2 " Между тем наибольшее значение угла нутации 0 соответствует os 0 = I. Следовательно, угловая скорость прецессии ф действительно может обратиться в нуль только тогда, когда и = 2. [c.437] В этом случае траектория апекса и ее проекция на плоскость Оху имеют точки возврата. Их вид показан на рис. 58. [c.437] Подчеркнем, наконец, что в двух задачах динамики твердого тела, рассмотренных нами, движение тела носило периодический характер. Это следует из свойств функций, используемых при решении указанных задач. [c.437] Условия (Ь) и (с) дают основания назвать тело, движущееся вокруг закрепленной точки и удовлетворяющее геометрическим условиям задачи Лагранжа, гироскопом ( 146). [c.437] Условия (с) равнозначны допущению, что вектор кинетического момента гироскопа мало отклоняется от оси Og. [c.437] Сформулируем основное предположение приближенной теории движения гироскопа. [c.437] Как и раньше, полагаем, что на гироскоп действует только сила тяжести mg. Тогда момент этой силы будет направлен перпендикулярно к плоскости Oz. Следовательно, вектор скорости Uq точки М будет также перпендикулярен к этой плоскости. Из этого видно, что угол 0 не меняется при движении гироскопа. Это, в свою очередь, приводит к выводу, что модуль вектора Uq постоянен. [c.438] Из формулы (111.37а) видно, что в этом случае ось гироскопа равномерно вращается вокруг вертикальной оси, описывая поверхность прямого кругового конуса. Перед нами тот случай движения гироскопа, который мы выше называли регулярной прецессией. Следовательно, в первом приближении движение гироскопа можно представить как результат сложения двух вращений равномерного вращения вокруг оси Oz и равномерного вращения вокруг оси гироскопа О . [c.438] Равномерность вращения вокруг оси 0 следует из равенства (111.37а), но это можно доказать, исходя также из равенства (d). [c.438] Из равенства (h) следуют два вывода. [c.439] Прежде всего, видим, что i будет постоянной лишь тогда, когда I o l не зависит от времени. [c.439] Но постоянство ш было доказано выше. Следовательно, ft)i — постоянная величина. [c.439] из равенства (h) видно, что при больших значениях I I модуль (0i будет мал. Это свидетельствует об отсутствии внутреннего противоречия в основном предположении приближенной теории гироскопов. Обратим, наконец, внимание на то, что полученное здесь выражение закона движения гироскопа Лагранжа можно было бы найти, исходя непосредственно из дифференциальных уравнений (III. 49а) — (III. 51). [c.439] Это соотношение совпадает с равенством (Н). [c.439] Следовательно, равенство (Ь) или ()) приближенно соответствует условию существования регулярной прецессии. [c.439] Используя равенства (о), получим окончательно 0 = (0Q — 0 ) os ki- - sin kt. [c.440] Отсюда следует, что при достаточно больших значениях проекций начального кинетического момента на ось 0 начальные отклонения гироскопа от движения при регулярной прецессии проявляются в дальнейшем движении в форме колебаний конечной амплитуды и большой частоты, происходясцих относительно положения стационарного движения, которым является регулярная прецессия. [c.440] Этим объясняется возникновение звука, которым сопровождается вращение волчка. [c.440] Мы не исследуем вопроса об устойчивости возмущенного движения, определяемого в первом приближении равенством (111.56). Заметим только, что здесь один из тех особых случаев, когда характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни, и первый метод Ляпунова не позволяет непосредственно сделать вывод об устойчивости или неустойчивости движения. Лучшие результаты в задачах, аналогичных рассматриваемой, дает второй метод Ляпунова ). [c.441] Рассмотрим движение гироскопа с точки зрения кинетостатики. Прймени.м принцип Даламбера. Приложим условно к элементам массы, принадлежащим гироскопу, соответствующие силы инерции. Тогда на основании принципа Даламбера гироскоп можно рассматривать как тело с неподвижной точкой, находящееся в равновесии. Момент силы тяжести уравновешивается моментом сил инерции, взятым относительно неподвижной точки. [c.441] Вернуться к основной статье