ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные положения теории устойчивости движения из "Курс теоретической механики. Т.2 " Теория движения систем материальных точек часто приводит к рассмотрению интегралов линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. [c.316] Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами были рассмотрены Л. Эйлером в теории движения Луны. Эти уравнения были вновь проанализированы в конце XIX в. [c.316] Общая теория интегрирования дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами была разработана А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре. В настоящее время теория квазигармонических колебаний находит применение в различных областях механики, радиотехники и т. д. [c.316] Например, эта теория используется при рассмотрении взаимно связанных продольных и поперечных колебаний тонких упругих стержней, при изучении колебаний пластины, находящейся под действием касательных и нормальных к срединной поверхности силовых воздействии, при исследовании колебаний кручения коленчатых валов, если принимается во внимание переменность приведенного момента инерции кривошипно-шатунного механизма, при исследованиях колебаний спарников ведущих колес электровозов и т. д. [c.316] Одним из простейших примеров квазигармонических колебаний является упомянутое выше движение маятника с периодически изменяющейся длиной. Рассмотрим этот пример подробнее. [c.316] Уравнение (11.313)—дифференциальное уравнение Матье. Его можно также получить, рассматривая малые колебания маятника при условии, что ось вращения маятника колеблется по синусоидальному закону ). [c.317] Конечно, условие (е) лишь достаточное условие устойчивости движения маятника. [c.317] Теперь, применяя общую теорию, вычислим коэффициент А характеристического уравнения, пользуясь фор.мулоп (11.307). [c.317] Первые два члена в разложении А не позволяют дать ответ на вопрос о свойствах движения маятника. Хотя вычисление дальнейших членов в разложении А не евязано с принципиальными затруднениями, применим иной метод — метод усреднения. [c.318] Очевидно, при ц = 1 резонанс отсутствует. В первом приближении движением маятника будут простые гармонические колебания. [c.318] Это решение приближенно соответствует формуле (11.300). Из него вытекает, что при параметрическом резонансе амплитуда колебаний возрастает по экспоненциальному закону. [c.318] Этот приближенный способ не позволяет найти, в каких пределах лежат значения параметров Ф(/), которые соответствуют параметрическому резонансу. [c.318] Это уравнение заменяет равенство (1) предыдущего параграфа. При ц = 1 уравнение (11.317) превращается в уравнение (1) ИЗ. [c.319] Найденные неравенства приближенно определяют первую область параметрического резонанса. Это все, что можно получить из уравнений первого приближения. [c.320] Рассматривая соотношения (р), вновь заключаем, что амплитуда колебаний математического маятника в области параметрического резонанса возрастает по экспоненциальному закону. [c.320] Здесь Н1 — первое приближение функции и. Постоянные интегрирования определяются из начальных условий. [c.320] В заключение обратим внимание читателей на различие между обычным резонансом, рассмотренным в первом томе, и параметрическим резонансом. [c.320] При обычном резонансе амплитуда вынужденных колебаний возрастает прямо пропорционально времени i, если отсутствуют силы сопротивления. При наличии сил сопротивления свойства движения существенно изменяются. В частности, амплитуда остается ограниченной при возрастании времени. [c.321] Вернуться к основной статье