ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вынужденные колебания системы при отсутствии сил сопротивления из "Курс теоретической механики. Т.2 " Вводя силы сопротивления, мы ограничились случаем сил, линейно зависящих от обобщенных скоростей. Эти случаи были отнесены нами к свободным колебаниям системы. Далее изучаются вынужденные колебания. [c.263] Рассмотрим движение системы материальных точек, находящихся под действием восстанавливающих сил, образующих потенциальное силовое поле, и некоторых возмущающих сил, являющихся явными функциями времени. Конечно, система может находиться под действием сил с более общими физическими свойствами — сил, являющихся функциями времени, обобщенных координат, обобщенных скоростей и в некоторых случаях — обобщенных ускорений 2). Но при изучении малых колебаний действие таких сил может проявиться в том, что линейные дифференциальные уравнения будут иметь переменные коэффициенты ), Здесь не изучаются эти более сложные случаи движения системы. Квазигармонические движения точки рассматриваются в конце этой главы. [c.263] Сначала не будем рассматривать влияние сил сопротивления. Хотя силы сопротивления всегда действуют на точки системы, все-таки в некоторых случаях можно получить достаточное приближение к действительности, пренебрегая этими силами. [c.263] Кинетическая энергия Т и потенциальная энергия П определяются равенствами (И. 175). Возмущающим силам соответствуют обобщенные силы Qj t). [c.263] Понятие о свободных и вынужденных колебаниях осложняется в тех случаях, когда уравнения движения системы имеют коэффициенты, явно зависящие от времени. Определение смысла понятий о свободных и вынужденных колебаниях в этом случае дано в книге Ф. А, Михайлов. Е. Д. Т е р л е в, В. П. Б у л е н о в, Г. Ю. Данков, Л. М. С а л и к о в, Г. А. С т е п а н ь я н ц, Днна.мика нестационарных линейных систем, Наука , 1967, стр. 15—16. [c.263] Рассмотрим некоторые способы интегрирования системы дифференциальных уравнений (11.212). Можно указать три способа интегрирования этой системы. [c.264] После подстановки в уравнения (II. 212) выражений (б) обобщенных координат неопределенные коэффициенты М г и N определяются из систе.м линейных алгебраических уравнений. [c.264] Частное решение системы дифференциальных уравнений двин е-ния, соответственно равенствам ( ), определяется тригонометрическими рядами. [c.265] Этот метод имеет существенный недостаток. Тригонометрические ряды (с1) иногда сходятся медленно, а ряды, которыми определяются обобщенные скорости и ускорения, могут быть расходящимися. Конечно, этот недостаток метода отсутствует, если обобщенные силы Qj(t) определяются не рядами, а тригонометрическими полиномами. В случае сил QJ(t), приводящих к медленно сходящимся разложениям координат следует применять иные методы решения задачи, на которых мы сейчас остановимся. Частный интеграл системы уравнений (11.212) определяет вынужденные колебания. [c.265] После построения частного рещения общее решение системы неоднородных дифференциальных уравнений (11.212) определяется как сумма общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы. Следовательно, колебательное движение системы при наличии возмущающих сил является результатом суперпозиции свободных и вынужденных колебаний. [c.265] Рассмотрим теперь другие способы интегрирования системы дифференциальных уравнений вынужденных колебаний. [c.265] Общим методом интегрирования этой системы, пригодным для широкого класса возмущающих сил Qi t), является способ вариации постоянных интегрирования. Этот способ подробно изучается в курсах интегрирования дифференциальных уравнений, и здесь он не рассматривается. [c.265] Остановимся на способе интегрирования системы дифференциальных уравнений (11.212), основанном на введении нормальных координат. [c.265] Коэффиценты thh и Лкк определяются формулами (а) 93. [c.265] В этом равенстве 0ьо и Om—начальные обобщенные (нормальные) координаты и скорости. [c.266] Следовательно, задача решена. Как видно, введение нормальных координат позволяет упростить изучение вынужденных колебаний системы с несколькими степенями свободы. [c.266] Если обобщенная сила Яь(/) —периодическая, а ее частота равна — возникает резонанс. Исследование этого случая, произведенное в т. I, непосредственно применимо к уравнениям (11.214). [c.267] Вернуться к основной статье