ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые вспомогательные понятия из "Курс теоретической механики. Т.2 " На основании теоремы Лагранжа — Дирихле нельзя, например, утверждать, что отсутствие минимума потенциальной энергии в положении равновесия системы обозначает неустойчивость состояния равновесия. Также нельзя на основании этой теоремы утверждать, что положению устойчивого равновесия всегда соответствует минимум потенциальной энергии, т. е. существует теорема, обратная теореме Лагранжа — Дирихле. [c.219] Заметим, наконец, что в тех случаях, когда некоторые обобщенные координаты не входят явно в состав потенциальной энергии, положение равновесия системы относительно этих координат можно назвать безразличным. [c.219] Исследования вопроса о случаях неустойчивости равновесия системы принадлежат А. М. Ляпунову. Найденные им теоремы рассмотрены в следующих параграфах. [c.219] Функция V называется знакопостоянной, если она однозначна, непрерывна и для достаточно больших значений времени I и малых по абсолютному значению щординат может принимать значения некоторого определенного знака или равняться нулю. Кроме этого, функция V должна равняться нулю при Х = = Х2 =. . = х = О, т. е. в начале координат. [c.219] Можно заметить, что частными случаями введенных здесь координат являются полярные координаты на плоскости и сферические в трехмерном пространстве. [c.220] Ряд (Ь) определяет две ветви функции р(С). Чтобы найти эти ветви в явном виде, достаточно рассмотреть значения л/С. [c.222] Если ряд (с1), сходится при достаточно малых по абсолютным величинам значениях р, то ряд (Ь) также сходится на некотором интервале действительных значений С. Определить радиус сходимости ряда вида (Ь) можно на основании теории аналитических функций. Следует заметить, что коэффициенты ряда (Ь) — периодические функции переменных с периодом 2п. [c.222] Следовательно, многомерная поверхность р = р(С, фг) будет вамкнутой. Это заключение вытекает из равенства (Ь) и из условия о сходимости ряда (Ь) на некотором интервале значений действительной пер емеиной С. [c.222] Из условия однозначности функции V следует, что, изменяя С, получаем семейство поверхностей р = р(С, ф ), не пересекающихся между собой. При умень-щении [С до нуля эти поверхности стягиваются к началу координат. Таким образом, теорема доказана. [c.222] Начало координат при этом можно назвать центром (рис. 29)1). [c.222] Заметим, наконец, что для положительно определенной функции V постоянная С О, для отрицательно определенной С 0. [c.222] В ряд (II.166Ь) начинается с члена V2m- Тогда р будет многозначной функцией С. Разложение этой функции указанным способом или по формуле Бурмана — Лагранжа позволит найти все ее ветви. [c.223] Все предыдущие рассуждения относились к случаю, когда начало координат было изолированной особой точкой (нулем) функции V. [c.223] Действительно, если поверхность (j) не проходит через начало координат, то существует некоторая область, к внутренним точкам которой принадлежит начало координат, в которой функция V будет знакоопределенной. [c.223] предположим, что начало координат лелсит на поверхности, определенной уравнением (j). Уравнение (j) не налагает каких-либо ограничений на полярный радиус р. Следовательно, поверхность, определенная уравнением (j), может быть замкнутой и незамкнутой. При условии (j) нельзя обратить ряд (d) радиус сходимости ряда (li) при этом равен нулю, а функция V не будет знакоопределенной и даже может не быть знакопостоянной. Знак V в точках, лежащих на поверхности (j) достаточно близко от начала координат, зависит от знака Уз- Следовательно, в малой окрестности начала координат функция V может иметь как положительное, так и отрицательное значение. [c.223] На основании непрерывности функции V можно утверждать, что существует некоторая поверхность, проходящая через начало координат, на которой V — 0. Эта поверхность может быть замкнутой и незамкнутой. Рассмотрим сначала тот случаи, когда поверхность, определенная уравнением V — 0, замкнутая (рис. 30). [c.223] Поверхность У = 0 для однозначной незнакопостоянной функции У отделяет те точки, в которых У 0, от точек, в которых У С 0. В случае знакопостоянной функции У ее знаки с противополжных сторон поверхности У = о будут одинаковы. [c.223] Возможна и более сложная структура поверхностей, определенных уравнением (к), в особенности, если эти поверхности незамкнуты и их пересечение плоскостью, проходящей через положение равновесия, является системой спиралеподобных кривых, стягивающихся к некоторой точке, которая называется в этом случае фокусом (рис. 31). [c.224] Вернуться к основной статье