ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип Эйлера — Лагранжа из "Курс теоретической механики. Т.2 " Эйлер впервые строго доказал принцип Мопертюи для случая движения материальной точки, находящейся под действием центральной силы (1744 г.). Наконец, Ж. Лагранж распространил принцип наименьшего действия на широкий класс задач динамики системы. [c.201] Этот принцип далее называется принципом Эйлера — Лагранжа. [c.201] Предположим, что на траектории сравнения постоянная А равна постоянной А на траектории действительного движения, т. е. действительное движение и движение сравнения происходят с одинаковой механической энергией. [c.201] Из равенства (а) видно, что это условие налагает некоторые ограничения на скорость движения изображающей точки по траектории сравнения. [c.201] Поэтому теперь нельзя рассматривать вариации координат как изохронные. [c.201] Дйствительно, равенство (а) связывает скорости изображающей точки на действительной траектории и траектории сравнения с координатами точек, принадлежащих этим траекториям. [c.201] Выше предполагалось, что связи, наложенные на точки системы, стационарны. Поэтому в равенстве (Ь) можно заменить возможные перемещения осуществимыми ( 2), т. е. перейти от изохронных вариаций к полным ( 73), как это и требуется условиями, наложенными на движение сравнения. [c.202] Согласно условиям (к) последний член в левой части равенства (1) равен нулю. [c.203] В первом члене можно изменить порядок интегрирования и варьирования, так как вариации координат точек М и М2 на основании условий (к) равны нулю. [c.203] Последнее равенство выражает принцип Эйлера — Лагранжа в форме, найденной Якоби. [c.203] Эта форма записи принципа Эйлера — Лагранжа называется формой Лагранжа. [c.204] Функционал 5 называется лагранжевым действием материальной системы. Соответственно этому функционал называется якобиевьш действием материальной системы. [c.204] Принцип Эйлера — Лагранжа в форме, предложенной Эйлером, и соответствующее выражение механического действия приведены в следующем параграфе. [c.204] Подробное и хледование достаточных условий существования экстремума приводит к понятию о так называемых кинетических фокусах. Не останавливаясь подробно на этом вопросе, скажем несколько слов об упомянутых достаточных условиях существования экстремума функционала, входящего в математическую формулировку принципа Эйлера — Лагранжа в форме Якоби. [c.204] наоборот, точка Мз лежит между точками Л41 и М2— действие вообще не принимает на действительной траектории экстремального значения. Аналогичные заключения можно сделать и относительно принципа Гамильтона— Остроградского ). [c.205] Все это подтверждает несостоятельность попыток связать найденные выше вариационные принципы с принципом экономии , который будто бы существует в природе. Такую попытку можно найти в рассуждениях Мо-пертюи. [c.205] Сравнивая интегральные вариационные принципы с дифференциальными, следует остановиться на идеалистических попытках связать с интегральными принципами отрицание детерминизма в природе. [c.205] Приведем соображения А. Зоммерфельда по этому поводу ). [c.205] Зоммерфельд отмечает, что интегральные принципы определяют закон движения материальной системы не ее состоянием в данный момент времени и в прошлом, а в одинаковой степени отображают прошлое и будущее системы. Это, по мнению А. Зом.мерфельда, позволяет усматривать в интегральных принципах отображение некоторой целенаправленности природы. Далее А. Зоммерфельд указывает, что математическое исследование вариационных принципов приводит к отрицанию такой целенаправленности . Об этом было сказано выше. А. Зоммерфельд не возвращается к вопросу об отрицании детерминизма, содержащемся в его исходной характеристике интегральных вариационных принципов. Однако ясно, что сама постановка вопроса извращает действительный смысл интегральных вариационных принципов механики. [c.205] Вернуться к основной статье