ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Канонические переменные из "Курс теоретической механики. Т.2 " Рассмотрим, например, движение свободной материальной точки. Пусть обобщенными координатами этой точки будут декартовы координаты X, у, г. [c.142] В рассмотренном случае обобщенные импульсы совпадают с проекциями количества движения материальной точки на координатные оси. Этим объясняется возникновение термина обобщенные импульсы . [c.143] Равенства (11.42) позволяют выразить обобщенные скорости через обобщенные импульсы, так как определитель системы алгебраических линейных относительно обобщенных скоростей уравнений (II. 42) для динамических систем всегда отличается от нуля. [c.143] Теперь рассмотрим общий случай. [c.143] В произвольный момент времени квадратичную форму Тг можно рассматривать как кинетическую энергию движения некоторой системы, со стационарными связями. [c.143] Действительно, из формул (11.27) — (II. 28с) видно, что можно построить бесконечное количество вспомогательных систем с кинетическими энергиями. [c.143] Если в момент времени ( = to определитель 1а( равен нулю, кинетическая энергия вспомогательной системы в этот момент времени будет равна нулю при не равных нулю обобщенных скоростях, как это было показано выше. Но это невозможно. Следовательно, определитель системы линейных уравнений (11.42) всегда отличается от нуля ). [c.144] Более отвлеченное доказательство неравенства нулю определителя а(1г основывается на общей теории квадратичных форм. [c.144] Можно представить кинетическую энергию даже при наличии нестационарных связей как квадратичную форму т + 1 обобщенной скорости. Дополнительная (т- -1)-я координата равна времени. Эта форма всегда положительно определенная. Из теории квадратичных форм известно, что необходимыми и достаточными условиями положительной определенности квадратичной формы является сохранение положительного знака дискриминанта формы и положительных знаков всех его главных миноров. Одним из этих -миноров является определитель ц1л1. Таким, образом, приходим к предыдущему заключению. [c.144] между обобщенными скоростями и обобщенными импульсами существует взаимно однозначное соответствие. [c.144] Поэтому можно исключить из всех величин, характеризующих динамические свойства системы, обобщенные скорости, выразив последние через обобщенные импульсы, обобщенные координаты и время. Динамическое состояние системы в произвольный момент времени определяется значениями обобщенных координат и обобщенных импульсов. [c.144] Обобщенные координаты и обобщенные импульсы называются каноническими переменными. Смысл этого термина разъясняется ниже. [c.144] Канонические переменные, определяющие положение и состояние системы, внешне выявляют указанный диалектически противоречивый характер механических движений. Состояние системы зависит не только от позиционных, обобщенных координат, но и от обобщенных импульсов. Последние и отображают то, что тело в один и тот же момент времени находится в одном и том же месте и не находится в нем . [c.145] Рассмотрим теперь дифференциальные уравнения движения системы в канонических переменных. [c.145] Вернуться к основной статье