ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Колебания математического маятника из "Курс теоретической механики. Т.1 " Рассмотрим движение математического маятника, как одно из важных применений теоремы об изменении момента количества движения. [c.403] Математическим маятником, называется тяжелая материальная точка, прикрепленная к абсолютно твердому стержню, вращающемуся в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через его конец О (рис. 187). Весом стержня и сопротивлением среды, в которой происходит движение маятника, будем пренебрегать. [c.403] Математический маятник — несвободная материальная точка. [c.403] Чтобы свести задачу к изучению движения свободной точки, применяется аксиома об освобождае-мости от связей. Освободим маятник от стержня (связи), приложив к нему силу, равную реакции связи. [c.403] Исследуя движение математического маятника, будем допускать, что отбрасывание связи не нарушает кинематических свойств его движения. В частности, примем, что реакция связи обеспечивает сохранение движения маятника по траектории, обусловленной физическими свойствами связи, т. е. по окружности. Радиус этой окружности равен длине стержня маятника а. [c.403] Далее будет показано, что в зависимости от начальных условий возможны три формы движения маятника колебательное, асимптотическое и прогрессивное. Подробно будет рассмотрено только колебательное движение. [c.403] Мы получили дифференциальное уравнение движения математического маятника. [c.404] Здесь Л и а — постоянные интегрирования. Постоянная А — амплитуда малых колебаний математического маятника, а — начальная фаза. [c.404] Эта формула известна из физики. Далее будет показано обобщение формулы (IV. 182). [c.404] Период малых колебаний математического маятника не зависит от начальных условий. Это свойство малых колебаний математического маятника называется изохронностью. [c.405] Характер движения маятника существенно зависит от начальных условий. [c.405] Применяя уравнение (IV. 179), можно доказать, что при условии (]) производные по времени от ср всех порядков при ср=я равны нулю. Следовательно, маятник должен остановиться в точке Л однако это происходит через неограниченно большой промежуток времени. [c.406] При выполнении условия (]) движение маятника называется асимптотическим. [c.406] В этом случае движение маятника сохраняет свое направление. Такое движение маятника называется прогрессивным. [c.406] Когда эта прямая пересекает окружность радиуса а, имеет место условие (1) и движение точки будет колебательным. Условию (j) соответствует касание прямой (1) окружности в точке А. Когда прямая (1) не пересекает заданную окружность, имеет место условие (к). [c.406] Возвратимся к неравенству (i) и покажем, что при начальных условиях, удовлетворяющих этому неравенству, движение математического маятника будет колебательным. [c.406] Из последнего уравнения следует, что —а ф ]а значит, движение маятника будет колебательным. Знак перед корнем зависит от направления движения маятника. При движении от точки Му к нужно перед корнем брать знак минус. [c.407] Выбор нижнего предела интегрирования соответствует выбору начала отсчета времени. [c.407] Существуют таблицы значений К (а) для различных значений угла а. [c.408] Вернуться к основной статье