ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Статически неопределимые системы. Метод сил из "Сопротивление материалов Изд.2 " Рассмотрим линейно-упругую деформацию тела, закрепленного так, что исключены его смещения как жесткого тела, под действием сил Р, Р2 приложенных в точках 1 и 2 (рис. 9.41). Обозначим через перемещение точки 1 в направлении силы Р. Если это перемещение вызвано силой Pi, то запишем его как i(Pi). Точно так же, i(P2) — перемещение точки 1 в направлении Pi, но от силы Р2. Аналогично 2(-Pi) и 52(Р2) — перемещения точки 2 в направлении силы Р2, которые образовались в результате действия сил Pi и Р2 соответственно. [c.282] А это равенство означает, что работа первой силы на перемещении точки ее ириложения, вызванном действием второй силы, равна работе второй силы на перемещении точки ее приложения под действием первой силы. [c.283] Это утверждение и составляет содержание теоремы взаимности работ. Для случая двух сил эта теорема была доказана в 1864 г. Д. Максвеллом. Но, как следует из самого понятия обобщенных сил и обобщенных перемещений, соотношение (9.7.3) не изменится, если под Pi и Р2 понимать обобщенные силы, а под 6i и S2 — соответствующие им обобщенные перемещения. Это было впервые понято итальянским ученым Е. Бетти в 1872 г. Как мы уже отмечали в связи с интегралом Мора, работа Д. Максвелла осталась незамеченной, и Е. Бетти сформулировал теорему взаимности работ независимо. Поэтому ее часто называют теоремой Бетти. [c.283] Это соотношение называют теоремой взаимности перемещений перемещение точки i, вызванное силой, приложенной в точке равно перемещению точки 2 под действием такой же по величине силы, приложенной в точке 1. [c.283] Напомним, что речь идет о перемещениях точек приложения сил по направлению этих сил. [c.283] С помощью теорем взаимности удается достаточно просто разрешить ряд вопросов, которые другими способами решаются громоздко. Примеры применения теорем взаимности даны в разд. 11.3, где доказывается симметрия тензора упругих коэффициентов анизотропного материла, и в разд. 10.2, где из теоремы взаимности перемещений сразу следует симметрия коэффициентов матрицы канонических уравнений метода сил. [c.283] Заметим, что здесь сила dPi ведет себя точно так же, как единичная сила при выводе интеграла Мора (см. п. 9.3.2). [c.284] Это и есть теорема Кастилиано частная производная от потенциальной энергии деформации по внешней силе равна перемещению точки приложения этой силы в направлении самой силы. [c.285] Как и ранее, во всех проведенных рассуждениях силы Pi,. .. [c.285] Оба этих условия выполняются, если тело линейно-упруго, справедлив принцип малости деформаций и внешние силы консервативны. [c.285] Рассмотрим примеры использования теоремы Кастилиано для определения перемещений. [c.285] Пример 9.8. Теорему Кастилиано можно использовать для вывода интеграла Мора. Чтобы избежать громоздких выкладок, покажем, как это можно сделать, на примере изгиба балки. В примере 9.7 было определено перемещение точки приложения силы. В общем случае, когда нужно найти прогиб произвольной точки, например прогиб 8а точки А на рис. 9.44, введем фиктивную силу Ф, приложенную в этой точке. Идея состоит в том, чтобы найти 6а как функцию Р и Ф. Тогда искомый прогиб будет равен значению этой функции при Ф = 0. По принципу суперпозиции, М Р -Ь Ф) — М Р) -Ь М (Ф). [c.285] Этот способ получения интеграла Мора называется методом фиктивной нагрузки. Он без труда может быть обобщен на случай произвольно нагруженного бруса. [c.286] СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ. [c.290] Напомним, что статически неопределимыми системами называются такие, внутренние силовые факторы в которых нельзя определить только с помощью уравнений равновесия (статики). Простейшие такие системы, образованные из элементов, работающих только на растяжение-сжатие, мы уже рассматривали в разд. 4.5, 4.6. Дополнительные уравнения для определения продольных сил в стержнях этих систем были построены из условий совместного деформирования их элементов. То же самое относится и к рассмотренному в примере 6.2 статически неопределимому брусу, работающему на кручение. [c.290] Для сложных статически неопределимых систем построение условий совместного деформирования элементов затруднительно. Поэтому были разработаны специальные методы для решения таких систем. Среди них наиболее прозрачным и эффективным является метод сил. С его помощью можно сравнительно легко найти внутренние силовые факторы и деформации для наиболее распространенных не очень сложных конструкций. [c.290] В последние годы для сложных конструкций создан ориентированный на использование ЭВМ метод конечных элементов. Этот метод изучается в курсе строительной механики. Он реализован в виде универсальных программ для ЭВМ, которые позволяют рассчитать напряженно-деформированное состояние сложных конструкций. Один из вариантов метода конечных элементов базируется на идеях метода сил. [c.290] Вернуться к основной статье