ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дифференциальное уравнение упругой линии балки из "Сопротивление материалов Изд.2 " Ниже мы подробно рассмотрим использование для расчета на прочность первого из условий (8.5.2), т.е. условия прочности по нормальным напряжениям. [c.211] Величину Wz, которая по существу является геометрической характеристикой сечения, называют моментом сопротивления изгибу. [c.212] Пример 8.9. Для балки, рассмотренной в примере 8.3, считая ее стальной, подберем из условий прочности следующие сечения сплошное круглое, прямоугольное с отношением высоты Н к основанию В, равным Н/В = 2, и стандартное двутавровое. При этом примем, что а = 1 м, qq = 0,02 Мн/м, [сг] = 200 МПа. [c.212] Балку с двутавровым сечением подберем по ГОСТ 8239-72 (см. приложение, табл. 3) ). Как видно из таблицы, наименьший момент сопротивления, удовлетворяющий условию прочности Wz Wz потр = 117 см , имеет профиль 18, для которого Wz = 143 см . [c.213] Наша ось г соответствует оси х ГОСТа. [c.213] И В Fj /Fp = 88/23,4 = 3,75 раза легче балки круглого сечения. Такая выгодность двутаврового сечения но сравнению с круговым и прямоугольным становится понятной, если рассмотреть распределение нормальных напряжений ах по этим сечениям. [c.214] Эпюры ах показаны рядом с сечениями па рис. 8.50. Как видно, форма двутаврового сечения такова, что основная часть материала, сосредоточенная в полках, работает при напряжениях, близких к максимальным. В то же время у балки прямоугольного сечения значительная часть материала, расположенная вблизи нейтральных волокон (вблизи оси z), испытывает напряжения существенно меньшие, чем допускает материал, т.е. работает с недогрузкой. Еще хуже в этом смысле распределен материал по круговому сечению. [c.214] Поэтому ясно, что касательные напряжения для рассмотренной балки не определяют ее прочность. [c.214] Еще меньше касательные напряжения будут в балке прямоугольного сечения и тем более в балке круглого сечения. Предоставляем читателю самому убедиться в этом. [c.214] Следует отметить одно важное свойство двутавровою сечения. Его форма такова, что большая часть нормальных напряжений, а следовательно, основная часть изгибающего момента Mz воспринимается полками. А большая часть касательных напряжений Тху и, следовательно, основная доля перерезываюп] ей силы Qy воспринимаются стенкой. [c.215] Это условие отличается от условия (8.5.5) лишь тем, что в его правой части используется минимальное из допускаемых напряжений для материала балки. [c.215] Фактически, как это видно из (8.5.8), требование симметрии сечения относительно оси z не обязательно. Достаточно, чтобы были одинаковы расстояния от оси до наиболее удаленных от нее растянутых и сжатых волокон. [c.215] Решение этого уравнения определяет форму упругой линии балки. Но так как оно нелинейно, то его аналитическое решение может быть получено только для некоторых частных случаев изгиба балок постоянной жесткости, которые были исследованы еш е Я. Бернулли, Л. Эйлером, С. Якоби, Ж. Лагранжем. И даже для этих случаев решение связано с преодолением значительных математических трудностей. [c.217] Рассмотрим углы а. х) между касательными к оси балки и осью X. Ясно, что в условиях гипотезы плоских сечений эти углы равны углам поворота сечений балки (см. рис. 8.52). В соответствии с геометрическим смыслом производной tgo = v. [c.218] Это уравнение называют дифференциальным уравнением упругой линии. Знак в нем зависит от выбора положительного направления оси V. Как видно из рис. 8.53 а, если считать прогиб v положительным, когда он происходит вверх, то при положительном изгибающем моменте балка изгибается так, что v 0. В таком случае знаки v и в уравнении (8.6.4) будут согласованы, если в нем принять знак -Ь . Противоположная ситуация показана на рис. 8.53 б. [c.218] Здесь переменные х, ж г] — координаты сечения, отсчитываемые вдоль одной и той же оси и от одного и того же начала. [c.219] Из сравнения этих форм записи видно, что С = (0), D = у(О). Найдем их из условий закрепления балки г (0) = О, v 2l) = 0. [c.220] Отсюда при X = 21 получаем, что а 21) = qP/ EJz). [c.220] А этот результат конечно совпадает с решением примера 8.12. Но, как видно, он получен проще и без громоздких вычислений. [c.226] Вернуться к основной статье