ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задачи динамики материальной системы из "Теоретическая механика в примерах и задачах Том 2 Динамика издание восьмое " Наиболее общим приемом составления дифференциальных уравнений движения материальной системы, подчиненной голономным связям, является применение уравнений Лагранжа. При наличии идеальных связей в эти уравнения не входят реакции связей. Если на материальную систему наложены голономные связи, то число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Применение этих уравнений особенно целесообразно при рассмотрении систем с несколькими степенями свободы. Так, в случае системы с двумя степенями свободы надо составить два дифференциальных уравнения движения. Если решать задачу, минуя уравнения Лагранжа, то необходимо из многих общих теорем и иных уравнений динамики найти два уравнения, применение которых наиболее целесообразно. Удачно выбрать уравнения и общие теоремы можно лишь на основе значительных навыков в решении задач или путем ряда неудачных проб и ошибок. Вместе с тем применение уравнений Лагранжа дает возможность быстро и безошибочно получить необходимые дифференциальные уравнения движения. Вообще говоря, при отсутствии ясного плана решения зад7чи лучше всего использовать уравнения Лагранжа. При этом существенную роль играет удачный выбор обобщенных координат. [c.549] Вместе с тем уравнениями Лагранжа нецелесообразно пользоваться при наличии сил трения, зависящих от переменного давления. Кроме того, в случаях систем с неудерживающими связями одних уравнений Лагранжа для решения задач может оказаться недостаточно. [c.549] Если по условию требуется определить какую-либо реакцию связи, то надо с помощью уравнений Лагранжа определить обобщенные ускорения системы (т.е. вторые производные по времени обобщенных координат), затем, применив закон освобождаемости, составить дифференциальное уравнение движения соответствующей материальной точки или применить метод кинетостатики и из составленного уравнения, решая первую задачу динамики, найти искомую реакцию. [c.549] Приведем для пояснения несколько примеров. [c.551] Задача 11.4. На рисунке изображена система, состоящая из барабана массой Ml и радиусом г и груза массой М2 На боковую поверхность барабана намотана невесомая нить, другой конец которой прикреплен к грузу. [c.551] При вращении барабана против хода часовой стрелки груз скользит по негладкой горизонтальной плоскости налево. [c.551] Барабан считать однородным кольцом. Коэффициент трения скольжения груза о плоскость равен f. В начальный момент система находилась в покое. Высотой груза пренебречь. [c.551] Решение. За исключением вращающего момента, все силы, приложенные к этой системе, постоянны. [c.551] В первом варианте вращающий момент зависит от угла поворота ip барабана. Поэтому можно применить теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме. [c.551] Применение теоремы об изменении главного момента количеств движения не составило большого труда лишь потому, что в системе отсутствуют твердые тела, совершающие сложные движения (см. задачу 11.5). Заметим, что эту теорему можно было использовать и в первом варианте данной задачи. Тогда составленное дифференциальное уравнение имело бы вид (Ml + М2)г ф = aip - fM-igr. Умножив его на dip, заменив lpd p на фd p и затем проинтегрировав, мы получили бы зависимость ф от tp. [c.552] Это дифференвд1альное уравнение, описывающее движение системы в обоих вариантах, можно было получить с помощью уравнений Лагранжа или общего уравнения динамики. [c.552] Решение этой простой задачи иллюстрирует ограниченные возможности применения теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме. [c.552] Задача 11.5. Планетарный механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится во вращение с помощью кривошипа ОС, к которому приложен вращающий момент т р z где z — ось вращения (рис. а). [c.552] Найти угловое ускорение кривошипа, если — его момент инерции, г, — радиус неподвижного колеса, Гг — радиус подвижного колеса массой Mi. Колесо 2 считать однородным кольцом. Силами сопротивления пренебречь. [c.553] К механизму приложены внешние силы /, Mig — сила тяжести кривошипа, P-i = M2g — сила тяжести колеса 2 (они перпендикулярны плоскости рис. б), вращающий момент m ,Ro и Rq — составляющие реакции неподвижной оси Zq, - реакция неподвижного колеса 1. [c.554] В выражение (19) реакция не вошла, ибо ЬА Я ) = dr , = = R /, v dt = 0. Отсутствие в (19) силы Л значительно упрощает решение задачи. [c.555] Воспользовавшись в уравнении (21) формулами (18) и (22),получим искомое угловое ускорение ijp кривошипа (см. формулу (13)). [c.556] Задача И.6. Цилиндр с горизонтальной осью, имеющий массу т, может свободно перемещаться в пространстве. Радиус цилиндра г. На цилиндр намотана нить, свободный конец которой движется равноускоренно вверх с ускорением в. [c.556] Определить движение цилиндра. [c.556] Вернуться к основной статье