ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод однородных решений в контактных задачах для тел неканонической формы из "Аналитические методы в контактных задачах теории упругости " Рассмотрим некоторую каноническую систему координат (г, (р) (рис. 5.1), в которой переменные в уравнении Ламе разделяются. Тогда существует счетный набор однородных решений для областей, ограниченных парами координатных кривых одного семейства. Известно [218], что таких систем координат конечное число и они связаны с группой симметрии уравнений Ламе. [c.183] Далее мы будем рассматривать задачи теории упругости только для двухмерных областей, хотя аналогичный подход может применяться и для существенно трехмерных задач. [c.183] Рассмотрим следующую задачу теории упругости. Пусть область, занимаемая телом, ограничена парой координатных кривых L, и двумя достаточно гладкими произвольными кривыми G, G2, которые назовем боковыми поверхностями (рис. 5.1). На кривых L, L2 зададим смешанные граничные условия, а на кривых G, G2 несмешанные. [c.183] Решение поставленной задачи строим в виде суперпозиции однородных решений для полубесконечной области, ограниченной кривыми 1/1, 1/2, и некоторого неоднородного решения для этой области. Неоднородное решение выбирается так, чтобы выполнялись смешанные граничные условия на L, 1/2- Используя произвол в выборе коэффициентов линейной комбинации однородных решений, удовлетворим краевым условиям на боковой поверхности. [c.184] Такой подход позволяет использовать хорошо разработанную теорию для полубесконечных тел [88, 260]. Из граничных условий на поверхностях L, L2 получаем известное интегральное уравнение, для которого есть достаточное количество эффективных методов решения [260]. [c.184] Если краевым условиям на боковой поверхности удовлетворять точно, то мы столкнемся с рядом проблем. Следы однородных решений на кривых отличных от координатных из-за экспоненциальных членов обладают гораздо худшими аппроксимационными свойствами, чем на координатных кривых. Поэтому невозможно известными способами [260] получить бесконечную систему приемлемого качества. Если же мы получим решение такой бесконечной системы, то остается открытым вопрос о сходимости полученных разложений. Ряд вопросов, связанных с суммируемостью разложений такого рода, обсуждается в работах [49, 192, М5]. [c.184] В силу вышеназванных трудностей краевые условия на боковой поверхности мы будем выполнять приближенно при помощи численных методов коллокаций, наименьших квадратов и вариационных, используя первые N однородных решений. [c.184] Изложим некоторые особенности применения численных методов при удовлетворении краевым условиям на криволинейной части границы при помощи однородных решений. [c.185] Здесь V x,y) = Vx x,y),Vy x,y)) — вектор перемещения, ах х,у), (Ту х,у), Тху х,у) — компоненты тензора напряжений. [c.185] Далее мы рассмотрим несколько подходов приближенного удовлетворения краевым условиям, использующих представление (5.12). [c.187] Решая линейную систему, находим неизвестные коэффициенты Dn. [c.187] Преимущество такого подхода заключается в его простоте и малых вычислительных издержках. Вместе с тем остается открытым вопрос о рациональном выборе положения точек коллокаций. [c.187] На неустойчивость по выбору точек обращали внимание авторы работ [7, 134] и др. Самый простой подход, заключающийся в равномерном расположении точек вдоль по кривой, в некотором смысле один из худших. Более рационально выбрать узлы коллокаций в нулях полиномов Чебышева первого рода. Некоторые теоретические и эмпирические соображения в пользу такого выбора можно найти в [49, 355, 356]. В нашем случае метод приемлемо работает только для границ очень близких к координатным кривым и малом количестве точек коллокаций. С другой стороны, если необходимо быстро получить приближенное решение, преимущества его несомненны. [c.187] Основное достоинство метода — высокая устойчивость, вместе с тем он требует существенных затрат на вычисление интегралов вдоль боковых поверхностей. Кроме того, для боковых поверхностей, сильно отличающихся от координатных, невязка краевых условий (5.13), (5.14) имеет высокие пики, которые имеют порядок решения, хотя малы по среднеквадратичной норме (см. рис. 5.3, крив. 2, стр. 191). Такие всплески не влияют на интегральные параметры задачи, однако нарушают физическую картину вблизи боковой границы. [c.188] Вариационные методы. Если решение в виде (5.12) подставить в вариационные интегралы, то мы также получим замкнутую систему линейных уравнений. Этот метод дает несколько более сложные соотношения для коэффициентов линейной системы, чем (5.19), но в целом очень похож на метод наименьших квадратов. Такой подход имеет смысл применять, если краевые условия на боковой поверхности содержат одновременно напряжения и смещения. [c.188] Такой подход занимает промежуточное положение между методом кол-локаций и наименьших квадратов, требует достаточно малых вычислительных затрат и не так чувствителен к выбору точек. Однако для границ, достаточно отличающихся от координатных, острые всплески невязки еще более ярко выражены, чем в методе наименьших квадратов. Этот метод достаточно эффективно работает в более широкой области, чем метод коллокаций. [c.189] Для неодносвязных областей реализация метода Ремеза достаточно сложна, поэтому имеет смысл вместо условия (5.22) рассмотреть его дискретный вариант. [c.189] ествует достаточное количество численных методов решения таких задач [153, 268, 351, 355, 363]. Заметим только, что (5.23) легко сводится к задаче линейного программирования. Далее будет в основном использован альфа-алгоритм Ремеза [268] ( альфа-процесс последовательных взвешенных квадратических приближений по терминалогии автора) как самый простой в реализации. [c.190] Как показала практика, этот подход наиболее адекватно подходит к решению поставленной задачи. Он требует существенно меньших затрат, чем метод наилучшего приближения и не дает всплесков невязки. Полученное решение близко к оптимальному. [c.190] Для практических расчетов использовался также несколько модифицированный алгоритм. По ходу итераций альфа-алгоритма Ремеза в переопределенную систему (5.23), (5.25) добавлялись уравнения по стратегии, близкой к стратегии в методе Ремеза первого рода. [c.190] Вернуться к основной статье