ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кручение штампом кругового цилиндра из "Аналитические методы в контактных задачах теории упругости " Остановимся предварительно на решении двух смешанных задач теории упругости о кручении штампом кругового цилиндра при условии жесткого защемления боковой поверхности (задача С ) л отсутствия на ней напряжений (задача Сг) (см. рис. 2.1). Эти задачи можно рассматривать как модельные для демонстрации эффективности предложенных методов исследования, в то же время они представляют и самостоятельный интерес. [c.51] Здесь 5 — угол поворота штампа, а — радиус штампа, R — радиус цилиндра, h — высота цилиндра, G — модуль сдвига. [c.52] Для решения поставленных задач используем метод сведения парных рядов к бесконечным системам первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов и метод однородных решений. [c.52] Здесь Ji, x) — функции Бесселя v 1/2). свойства функции К и) такие же как и в (1.1). [c.52] Решение бесконечной системы (2.10) может быть получено по аналогии с решением системы (1.6). [c.53] Для задачи 2 при i = a из (2.15) получим dm = О, bmn ф О, и, следовательно, решение бесконечной системы (2.15) уп —0. Таким образом при R — а формулы (2.14) и (2.16) дадут известное точное решение задачи о кручении стержня штампом, радиус которого равен радиусу стержня. [c.54] Заметим, что при малых h/a и R - a)/h оо формулы (2.27) будут совпадать с соответствующими результатами работы [20], где рассматривалась задача о кручении штампом слоя. [c.56] Формула (2.27) позволяет сделать вывод о том, что при фиксированном малом значении h/a влияние боковой поверхности плиты на распределение контактных напряжений под штампом экспоненциально затухает с увеличением параметра R — a)/h и практически уже при R - a)/h 1 этим влиянием можно пренебречь. [c.56] Как показывают числовые расчеты, формулу (2.27) можно использовать с относительной погрешностью, не превышающей 10% при h/a 0,5 и (i — a)/h 0,3. [c.56] На рис. 2.2 приведены зависимости величины г = Tr p r,0) G5) от г/а для некоторых значений параметров h/aw R- а)/а для задачи С, вычисленные методом урезания бесконечной системы по схеме (1.16) и по формуле (2.14) при N = 43. [c.57] При [R — a)/a = 00 кривые построены по асимптотическим формулам работы [20], где рассматривалась задача о кручении штампом слоя. С этими кривыми на рис. 2.2 практически сливаются кривые распределения напряжений под штампом, если [R — a)/h 1. [c.57] Графики показывают, что боковая поверхность плиты оказывает преимущественное влияние на распределение напряжений под штампом вблизи его границы. [c.58] что при R а свободные члены системы (2.35) и коэффициенты ее матрицы экспоненциально убывают с ростом номеров. Таким образом, система (2.35) относится к типу нормальных систем Пуанкаре-Коха. [c.60] Такие системы возникают также при исследовании некоторых типов смешанных задач методом кусочно-однородных решений [235. [c.60] Для вычисления элементов системы (2.35) необходимо знать решения интегральных уравнений (2.34), которые соответствуют хорошо изученной контактной задаче о кручении штампом упругого слоя, и поэтому для их решения с успехом могут быть использованы эффективные асимптотические методы [88]. [c.60] Таким образом, используя метод больших Л для решения уравнения (2.34), удалось получить решение задачи для больших значений параметра Л через решение бесконечной системы (2.35) в элементарных выражениях с любой степенью точности, при этом в формулах для контактных напряжений особенность явно выделена. Коэффициенты бесконечной системы также получены в элементарных выражениях. [c.63] Об области применимости такого подхода к решению задачи будет сказано ниже. [c.63] Решение интегрального уравнения (2.34) методом малых Л. [c.63] Рассмотрим парное уравнение (2.37), эквивалентное уравнению (2.34), и получим его решение методом сведения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей [41]. В качестве решения последней возьмем главный член его асимптотики при малых Л [56. [c.63] Вернуться к основной статье