ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Операторы (символы для обозначения операций) из "Сила и деформация Прикладная теория упрогости Том2 " Если ф,г 1 = 0, т. е. если угол поворота сечения вследствие действия поперечной силы V равен нулю, то поперечная сила пройдет через центр изгиба, который К. Вебер называет центром поперечных сил. Так как это имеет место для любого направления поперечной силы, то это доказывает, что центр изгиба совпадает с центром кручения поперечного сечения ). [c.139] Представим себе стержень любого сечения, закрученный до такой степени, что в отдельных частях его возникает пластическая деформация материала. Мы сделаем простое, но достаточно хорошо выполняющееся у многих металлов, предположение, что в частях, где начинается пластическая деформация материала, касательные напряжения, действующие в поперечном сечении, имеют постоянное значение к. Это и будет выражать условие пластичности ), которое вместе с условиями равновесия элемента и определяет напряжения в тех частях стержня, где начинается пластическая деформация материала, следовательно, определяет напряжения статически, как и в 57 в случае плоского напряженного состояния, когда касательное напряжение в той области, где происходит пластическая деформация материала, было принято равным к. Случай стержня круглого сечения рассмотрел еще Сен-Венан ). Мы же будем предполагать, что поперечное сечение имеет любую величину. Мы оставим в силе те же предположения относительно величины деформации в области материала, какие были сделаны нами в случае плоского напряженного состояния в 57, стр. 396 первого тома. [c.139] Для заданной формы поперечного сечения поверхность естественного откоса получить легко, посыпая для этого горизонтально расположенную плоскость поперечного сечения мелким поропжом до тех пор, пока порошок не начнет соскальзывать вниз за линию контура. Поверхность насыпанного порошка и будет представлять поверхность естественного откоса для данного сечения. Если стержень нагружен настолько, что материал во всех его частях доведен до течения, то поверхность есте-ст1,енного откоса, найденная указанным образом, и будет представлять поверхность напряжений. Действительно, для поверхности напряжений мы также имеем па контуре F—0, как это вытекает из формулы (22), которая имеет место как для упругой, так и для пластической области. [c.140] Теперь мы можем легко обобщить аналогию Прандтля и на эту задачу. Для этой цели представил себе, что ординаты поверхности естественного откоса уменьшены в одно и то же число раз, так чтобы их можно было в сравнении с размерами поперечного сечения считать малыми, и затянем контур сечения мыльнJй пленкой. Если мыльная пленка будет подвергнута изнутри избыточному давлению, то сперва образуется мыльный пузырь, соответствующий, как мы видели раньше в 68, одним упругим деформациям. Но если мы нагрузку будем увеличивать дальше, так что в материале частично начнется пластическая деформация, то этому значению нагрузки будет соответствовать такое избыточное давление, при котором мыльная пленка будет частично прилегать изнутри к поверхности естественного откоса и притом на тем большей площади, чем будет больше нагружен стержень, т. е. чем больше будет избыточное давление р. Проекция кривой, по которой мыльная пленка соприкасается с поверхностью естественного откоса, дает границу между упругими и пластическими областями. Все теоремы относительно поверхности напряжений, доказанные Прандтлем (см. 68), сохраняют свою силу и в данном случае. [c.141] Рассмотрим тело вращения, к которому приложены симметрично распределенные внешние силы, расположенные в меридиональных плоскостях, проходящих через точки приложения сил. В этом случае форма и нагрузка тела полностью характеризуются формой меридионального сечения и схемой его нагружения, начерченной на фиг. 96. Ось вращения мы возьмем за ось х, а другую ось, перпендикулярную к первой, возьмем за ось г. Двух координат х w г нам достаточно, так как все точки с одинаковыми такими координатами находятся в одинаковых условиях. [c.143] При решении задач рассматриваемого типа собственный вес и другие массовые силы можно обычно не рассматривать, так что нам придется иметь дело лишь с внешними силами, приложенными к поверхности тела. Боковую поверхность тела целиком или большей частью можно ча то также считать совершенно свободной от действия внешних сил, а потому свободной и от действия напряжений. В общем случае, которым мы сейчас и займемся, внешнюю силу, приложенную к элементу боковой поверхности, мы разложим на две составляющих, направленных по нормали и по касательной к боковой поверхности согласно сделанному нами предположению обе эти составляющие должны быть расположены в меридиональной плоскости. Соответствующие силы, отнесенные к единице площади, мы должны считать за заданные на контуре тела нормальное j и касательное т напряжения. Остальные силы будут приложены к двум основаниям, ограничивающим тело сверху и снизу. Их мы также разложим на нормальную и на касательную составляющие, которые мы обозначим через а,- и т. [c.143] Для наглядности рекомендуется нанести в меридиональном сечении два семейства траекторий напряжений, идущих во всех точках в направлении главных напряжений и потому пересекающих одна другую всегда под прямым углом. Траектории напряжений дают приблизительное представление о характере ожидаемого напряженного состояния, чем можно воспользоваться для приближенной оценки напряжений в том случае, когда точное решение найти нельзя. [c.144] Кроме меридионального сечения мы через точку х, г проведем еще второе сечение, перпендикулярное к оси х, и третье сечение, перпендикулярное к двум первым. Следы новых секущих плоскостей на меридиональной плоскости будут параллельны осям г к х. Вследствие симметрии, в обеих секущих плоскостях в точке х,г могут действовать лишь такие касательные напряжения, которые параллельны меридиональной плоскости. По теореме о равенстве касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам эти оба касательных напр5] ения должны иметь одинаковую величину. Поэтому, не боясь недоразумений, мы оба напряжения можем обозначить буквой т без добавления значков. Нормальные напряжения, действующие в секущих плоскос1ях, мы, как обычно, обозначим через jj. и Их, как и т, нужно считать функциями от д и г, Знаки всех напряжений определяются по правилам, установленным в начале книги. [c.144] Предыдущие условия характеризуют случай, когда основные уравнения упругого равновесия можно представить в такрй же простой форме, как и в случае плоской задачи, и мы можем ограничиться рассмотрением соотношений, имеющих место для точек одной и той же плоскости. Так как этот случай встречается часто, ю он заслуживает особого рассмотрения. Задача заключается в том, чтобы четыре напряжения j(, jj., т, характеризующие полностью напряженное состояние в точке X, г меридионального сечения, представить в виде функций от д и г, если на контуре заданы внешние силы или поставлены другие граничные условия. [c.144] Двух уравнений (1) вместе с граничными условиями недостаточно для определения четырех напряжений в виде функций от д и л. Для этого нам во всяком случае нужны еще добавочные уравнения, которые получатся на основании зависимости, существующей меисау напряжениями и упругими деформациями. Прощ,е всего выразить все напряжения через перемещения S и р, параллельные осям д и л, и таким образом свести число неизвестных функций с четырех до двух, для определения которых будет достаточно двух уравнений. [c.146] Для решения задачи об определении напряжений в теле вращения, рас-сматригаемой нами в этой главе, нужно лишь определить р и S таким образом, чтобы они удовлетворяли в каждой точке тела уравнениям (9) и (10) и одновременно граничным условиям на поверхности тела. Мы рассмотрим отдельные случай, в которых удается найти решение. [c.148] Но этому уравнению перемещение должно удовлетворять во всех случаях, совершенно независимо от тех упрощений, которые мы получаем в случае тела вращения, так как его можно вывести непосредственно из основных уравнений (36) 2 упругого равновесия путем исключения из них Г), С, е- К вопросу о нахождении точных решений предыдущих уравнений мы еще возвратимся впоследствии. [c.149] Вернуться к основной статье