ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случай узкого эллипса из "Сила и деформация Прикладная теория упрогости Том2 " До сих пор мы всегда предполагали, что напряжения во всех поперечных сеченлях стержня, работающего на кручение, одинаковы и что все сечения деформируются (искривляются) беспрепятственно, как это получается по теории Сен-Вгнана. Но нередко бывают случаи, когда искривление поперечного сечения затруднено, а при иных условиях возможность его даже совсем исключена. Последнее мы имеем, например, у среднего поперечного сечения стержня, к обоим концам которого приложены два одинаковых, вращающих в одном направлении, крутящих момента М, уравновешивающихся удвоенным крутящим моментом 2М, приложенным в среднем сечении. Вследствие симметрии среднее поперечное сечение искривляться не может. Очевидно, что в таком сечении кроме касательных напряжений и должны еще действовать нормальные напряжения (3 , перпендикулярные к поперечному сечению. Такие нормальные напряжения будут действовать также и в сечениях, близких к среднему, но они будут постепенно уменьшаться по мере того, как будет ослабляться влияние причин, препятствующих искривлению поперечного сечения. На обоих же концах стержня, на которых нормальные напряжения равны нулю, препятствовать искривлению поперечного сечения ничто не будет. На основании теоремы о минимуме энергии деформации можно вывести заключение, что влияние среднего поперечного сечения, препятствующего искривлению других поперечных сечений, очень быстро уменьшается то же относится и к нормальным напряжениям (з . Этими соображениями мы воспользуемся впоследствии, чтобы подобрать подходящее выражение для напряжений. В случаях стержня, концы которого переходят в толстые плиты, также можно считать, что толстые плиты препятствуют искривлению концевых сечений при кручении стержня ). [c.123] Мы можем предположить, что, как и при обыкновенном кручении, все нормальные напряжения кроме обращаются в нуль, т. е. [c.124] Это выражение, с одной стороны, удовлетворяет условию, требующему, чтобы напряжение при х=оо обращалось в нуль, а с другой стороны, и граничному условию на эллиптическом основании, на котором в виду а =(3 =0 должно быть также и = Действительно, выражение внутри скобок в последней формуле обращается в нуль для всех точек эллипса. Под k нужно понимать постоянную величину, зависящую от крутящего момента, которая определится в дальнейшем. [c.125] Оба последние члена являются независимыми от х постоянными интегрирования и имеют такой же вид, как и соответствующие выражения в обыкновенной теории кручения Сен-Венана. Граничным условиям формулы (123) удовлетворяют, так как на боковой поверхности первые члены обращаются в нуль. [c.125] Мы должны взять лишь один корень, так как согласно условиям задачи Y должно быть действительным и положительным. [c.127] Здесь мы имеем предельный случай, когда выведенные формулы не дают ничего нового. При а = 6 величина k по формуле (124) обращается в нуль и, таким образом, обращаются в нуль все те члены в выражениях напряжений, в которые входит у. и остается лишь решение, еще данное Сен-Венаном. [c.128] Член в выражении А, зависящий от у, будет, таким образом, отрицательным легко убедиться в том, что он получится отрицательным при любом сжатии эллипса. Этого можно было ожидать и заранее, так как защемление конца стержня затрудняет деформацию и лишь уменьшает, а не увеличивает работу упругой деформации. [c.128] Первый член в скобках соответствует углу закручивания для случая беспрепятственного искривления поперечного сечения, а второй член дает уменьшение, вызываемое защемлением конца стержня. Уменьшение происходит на такую же величину, как если бы длина стержня I укоротилась на 2,56. С другой стороны, при расстоянии х = 2,5Ь от начального сечения мы будем иметь у- = 0 66 и е И = 0,41. Поэтому для сечения, отстоящего на 2,5 Ь от начального, члены, входящие в формулы (120) и (123) для напряжений и содержащие у, уменьшаются до 0,41 своих значений в защемленном сечении. [c.128] 58 раза больше для того же случая. [c.130] Вернуться к основной статье