ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решения общих уравнений из "Введение в теорию упругости для инженеров и физиков " Сначала напомним замечания, сделанные в 309 главы IX относительно уравнений совместности для деформаций . Иногда случается так, что соображения общего характера, например, соображения симметрии, дают возможность для компонентов напряжения получить выражения, удовлетворяющие условиям равновесия и граничным условиям задачи. Выполнение этих условий необходимо, но не недостаточно, потому что в действительности они налагают только три условия на шесть независимых компонентов напряжения. Прежде чем принять некоторое напряженное состояние, как правильное решение нлшей задачи, мы должны удостовериться в том, что соответствующие ему деформации могут произойти в теле без начальных напряжений. Это значит, что мы должны убедиться в совместности полученного напряженного состояния с однозначными значениями компонентов смещения м, V, w. Такую проверку проводят с помощью уравнений совместности. Если они удовлетворяются так же, как уравнения равновесия и граничные условия, то мы можем, не вычисляя действительных значений компонентов смещения, принять полученное нами напряженное состояние, как решение поставленной задачи. [c.416] Мы воспроизведем в основных чертах знаменитое исследование Сен-Венана задач о чистом изгибе, кручении и изгибе поперечной силой изотропных цилиндров заданного поперечного сечения. [c.417] Введение этого различия ясно сформулировано в его принципе упругой равнозначности статически эквивалентных систем нагрузок (гл. III, 92—94). Оно дает возможность упростить точные уравнения Навье с помощью некоторых предположений, которые с математической точки зрения ограничивают область справедливости получившегося решения, но не уменьшают его практической ценности. Наиболее важное из этих предположений заключается в том, что распределение напряжений по поперечному сечению цилиндрического тела, как, например, балки постоянного поперечного сечения, не зависит от расстояния по оси. Мы видели ( 95), что решение, обладающее этим свойством, соответствует минимальному значению упругой энергии, запасенной под действием данного результирующего усилия. [c.418] Осталось исследовать, можно ли из решений уравнений (4) — (6) получить практически полезный результат, т. е. проверить, удовлетворятся ли уравнения совместности деформации. [c.420] Будем считать, что равняется по очереди каждому из членов формулы (8), и постараемся получить вытекающие отсюда следствия. [c.421] Таким образом решение, соответствующее нулевому значению является простым кручением. Величина Н называется модулем кручения поперечного сечения. Ее размерность [длина]. С, т. е. произведение Н на модуль сдвига х, обычно называют жесткостью при кручении цилиндрического тела ). [c.424] Выражения для и и г представляют собой поворот поперечного сечения на положительный угол iz около оси параллельной Oz. Таким образом, мы видим, что еще не определенная нами постоянная т так же, как и в 157—159 главы V, выражает угол поворота на единицу длины. [c.425] В наше решение входит гармоническая функция двух переменных 9. Функция 9 определяется с помощью граничного условия (14), и поэтому имеет различный вид для различных форм поперечного сечения цилиндра. Обычно она называется функцией кручения для данного контура. Задача определения ер называется задачей кручения для этого контура. [c.426] Здесь мы не будем больше заниматься изложением задачи кручения ). Заметим только, что любую гармоническую функцию двух переменных можно считать функцией кручения для контура некоторой формы, и что этот контур можно найти, подставив функцию ф в условие (14). [c.426] Центр этого круга лежит по ту сторону оси, где у положителен. Этот результат устанавливает факт существования ан-тикластической кривизны , описанной в 170 главы V. [c.430] Последнее равенство имеет место согласно преобразованию Грина ) (криволинейный интеграл берется по контуру поперечного сечения). Подинтегральная функция в правой части, согласно условию (13), равна нулю на контуре поперечного сечения, так как боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузки. Из полученного соотношения мы видим, что С должно обращаться в нуль. [c.431] Через /j, обозначен геометрический момент инерции площади поперечного сечения относительно оси Оу. [c.433] Задача определения гармонической функции двух переменных для любого данного контура поперечного сечения при граничн м условии (34) называется задачей изгиба для этого контура. [c.434] Легко проверить, что найденное решение удовлетворяет требованиям задачи относительно действующей результирующей силы. [c.435] Последнее равенство имеет место в силу граничного условия (13). Аналогичным способом мы можем показать, что другие составляющие усилия обращаются в нуль. [c.435] Оно удовлетворяется или при os (л , л) = О или при ( = 0. [c.437] Вернуться к основной статье