ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общая теория деформаций из "Введение в теорию упругости для инженеров и физиков " Приняв это допущение, мы сначала найдем выражение для относительного удлинения, возникшего вследствие деформации отрезка PQ, который соединяет две частицы Р и Q тела. [c.376] Координаты частиц Р и Q после деформации будут Xp- -Up, yp- -Vp, Zp- -Wp и J q+Uq, yQ- -VQ, Zq- -Wq. [c.376] Через I, т, п обозначим направляющие косинусы PQ в не-деформированной конфигурации, т. е. [c.376] Это и есть искомое выражение относительного удлинения PQ. Формула (1) становится точной, если L бесконечно мало, так как тогда выражения (V), в которых мы пренебрегали членами порядка Z, , Z, . являются точными выражениями для (Kq —Ия),. .. [c.377] Двойной индекс указывает иа то, что в деформации, характеризуемой e jg, плоскости, перпендикулярные оси х, смещаются одна относительно другой в направлении Ох. Этот тип деформации описан в главе (IV) 115 и иазваи растяжением или удлинением в направлении Ох. [c.378] Это вызванные деформацией относительные удлинения прямых, первоначально параллельных соответственно направлениям Оу, Oz. [c.378] В 294 мы установили, что представляет собой деформацию, в которой плоскости, первоначально перпендикулярные оси X, смещаются одна относительно другой по направлению Ох. Система обозначений будет последовательной, если 6j.y будут характеризовать деформацию, в которой плоскости, первоначально перпендикулярные оси х, смещаются одна относительно другой в направлении Оу. Смещение такого рода вызывает изменение угла, обозначенное нами как раз через е су = ). Это схематично иллюстрируется на рис. 95 слева. На этой схеме D является следом плоскости, первоначально перпендикулярной Ох и перемещающейся в направлении Оу относительно другой плоскости, след которой В А. Через С В С обозначен угол, получившийся в результате изменения первоначально прямого угла AB . [c.380] Таким образом, удлинение какого-нибудь отрезка, проходящего через данную точку, может быть выражено как функция шести компонентов деформации в этой точке. [c.382] В этих формулах через Z,j и Z,J обозначена длина PQ соответственно до и после деформации. [c.382] Для Сд- д-г мы можем получить выражение из соотношения (7), если подставим в него /j, OTj, н, вместо ношения (9) получим выражен1Ю для е центы деформации, отнесенные к х подобным же образом. [c.385] Это основная теорема теории деформаций. Из нее следует, что в том случае, когда направление главных удлинений безразлично, наиболее общее деформированное состояние можно определить, задав значения трех главных удлинений. Для того чтобы задать полностью деформированное состояние, мы должны так же, как при определении напряженного состояния, задать шесть величин. [c.386] Отсюда видно, что е в условиях (IV) представляет собой удлинение epQ, т. е. удлинение в направлении, определяемом направляющими косинусами 1,т,п. Нам нужно показать, что решения (IV) существуют. [c.387] Это кубическое относительно е уравнение с действительными коэффициентами. Оно имеет, по крайней мере, один действительный корень, например Итак, в случае любого из возможных деформированных состояний существует, по крайней мере, одно направление стационарного удлинения. Его можно найти из условий (IV), если заменить в них е на е . [c.387] Умножим эти уравнения соответственно на/3,/Я2, 2 и сложим. Через /3, OTg, 2 мы обозначаем направляющие косинусы любого направления, перпендикулярного tj. [c.388] Здесь 0xi,0x — направления, определяемые соответственно направляющими косинусами и /2, 2, j. [c.388] Оба корня действительны. [c.389] во всех случаях мы можем найти еще два направления главных удлинений. Так же, как в 304, мы можем показать, что они перпендикулярны друг другу как до, так и после деформации. Таким образом, теорема, сформулированная в 302, доказана. [c.389] Через l,tn,n и l, tn, n обозначены направляющие косинусы каких-нибудь двух перпендикулярных направлений х и у. [c.389] Деформированное состояние так же, как и напряженное состояние, можно описать с помощью некоторой поверхности, называемой поверхностью деформации ). [c.389] К компонентам деформации можно применять также круговую диаграмму Мора, рассмотренную в главе VIII, 280, 291А. Здесь мы этим не будем заниматься, а перейдем к выводу дифференциальных соотношений, которые должны существовать между шестью компонентами деформаций. [c.390] Вернуться к основной статье