ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сингулярные интегральные уравнения в плоских задачах теории трещин из "Численный анализ в плоских задачах теории трещин " При исследовании напряженно-деформированного состояния тел с трещинами широкое применение нашел метод сингулярных интегральных уравнений. Он особенно удобен и эффективен при решении плоских задач теории упругости для тел сложной геометрии, содержаш,их включения, отверстия и трещины произвольной формы. Впервые [И, 137, 181] сингулярные интегральные уравнения использовались при исследовании распределения напряжений около прямолинейной трещины (или полосы пластичности) в некоторых классических областях (полуплоскость, полоса, бесконечная плоскость с круговым отверстием). Система произвольно ориентированных прямолинейных трещин изучалась в работах [21, 22, 70]. Рассматривался также случай криволинейных трещин в бесконечной плоскости [16, 40, 74, 92, 117]. В работах [94—96] основные граничные задачи для многосвязной области, содержащей изолированные криволинейные разрезы и отверстия произвольной формы, сведены к системе сингулярных интегральных уравнений по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. Эти результаты обобщены на случай, когда разрезы выходят на границу тела, а также соединяют отверстия между собой и (или) с внешней границей [97]. К настоящему времени появилось большое количество работ, в которых методом сингулярных интегральных уравнений изучаются плоские задачи теории трещин. Обзор этих исследований имеется в работах [5, 32, 45, 54, 70, 95, 100]. [c.5] В данной главе изложен метод сингулярных интегральных уравнений для решения основных граничных задач плоской теории упругости для многосвязных областей с отверстиями и разрезами произвольной формы при наличии угловых точек на граничных контурах, а также изучено поведение вблизи концов линии интегрирования интеграла типа Коши и некоторых других комплексных интегралов, плотности которых имеют особенности степенного характера. [c.5] Хху и две составляющие вектора перемещений — и, v (рис. 1), являющиеся функциями двух переменных л и у. [c.6] Приведем результаты из теории аналитических функций, которые будут необходимы в дальнейшем изложении. Подробные сведения об аналитических функциях, интегралах типа Коши и сингулярных интегральных уравнениях можно найти, например, в монографиях [15, 48, 122]. [c.8] Здесь интеграл в правых частях понимается в смысле главного значения по Коши, т. е. [c.9] Получим интегральные представления комплексных потенциалов напряжений и сингулярные интегральные уравнения для произвольных многосвязных областей с отверстиями и трещинами. [c.15] Здесь Ф1(21) и Fi(2i) —комплексные потенциалы в локальной системе координат Xiyi с началом в вершине трещины (рис. 4). [c.18] Здесь Ox, Gy, Xxy и u, V — компоненты напряжений и перемещений в локальной системе координат Х у с началом в вершине трещины (см. рис. 4). [c.19] Пусть область 5, занятая телом, ограничена одним или несколькими замкнутыми контурами Ь, L2. Lm, Lq, где первые М контуров расположены вне друг друга, а последний охватывает все остальные. Кроме того, в области 5 имеется N—М криволинейных разрезов Ln n=M+l,N), Предположим, что контуры Ln, n=0,N являются кусочно-гладкими и не имеют общих точек. [c.20] Аналогично может быть записана система интегральных уравнений для смешанной задачи, когда на одних контурах (замкнутых или разомкнутых) заданы напряжения, а на других — смещения. [c.23] Здесь ядра k t,t ) и k2 t,f) даются соотношениями (1.68), a. функционалы Mk и a — формулами (1.81). [c.24] Когда в теле имеется центр симметрии, относительно которога также симметрична внешняя нагрузка p t), т. е. [c.25] При использовании условий симметрии (1.94), (1.101) — (1.105) интегральное уравнение (1.92) можно записать только на симметричной половине контура L= [ Lk k=0, М), что позволит при его численном решении понизить порядок соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. [c.25] Пусть / (т) означает тригонометрический полином порядка п = = [NJ2], интерполирующий непрерывную 2я-периодическую функцию /(т) в N узлах. [c.26] Формулы (1.110) и (l.lll) точны для любого тригонометрического полинома степени не выше п—1 и п соответственно. [c.26] Взяв в соотношении (1.121) в качестве внешних узлов систему п—I нулей полинома t/n -i(r]), т. е. [c.28] Выбрав в соотношении (1.128) в качестве внешних узлов систему л + 1 нулей полинома Тп+ х), т. е. [c.29] Вернуться к основной статье