ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория эффективного модуля из "Межслойные эффекты в композитных материалах " Обсудим уровень абстрагирования в теоретических моделях, изложенных в данной главе, а также в последующих главах. Этот уровень при моделировании композита называется теорией эффективного модуля или упругого слоя этот исключительно наглядный термин предложен Вангом (гл. 2). Суть идеи заключается в представлении каждого слоя в слоистом композите в качестве однородного, анизотропного, обычно упругого тела. Сам слоистый композит рассматривается как совокупность таких слоев, которые в большинстве случаев скрепляются по поверхностям раздела. Таким образом, модели, вытекающие из этого допущения, приводят к кусочно-постоянному представлению матрицы жесткости в направлении толщины композита (г), т. е. на различных поверхностях раздела слоев имеют место разрывы матрицы Q. Такая форма представления является искусственной, однако она очень широко используется на практике и в исследованиях и оправдала себя в механике композитов. [c.11] Имеются существенные основания предположить полезность, если не точность, теории эффективного модуля даже при наличии градиентов макроскопических напряжений. Решение задачи о свободной кромке и успешные оценки для задач с локальным повреждением, таким, как трещины слоев, свидетельствуют об этом. Кроме того, необходимо отметить, что модели, построенные с учетом теории эффективного модуля, коррелируют с разрушением, описываемым на основе таких эмпирических законов разрушения, как законы классической механики упругого разрушения и критерий для средних напряжений. Однако это не подтверждает, что данные модели тщательно обоснованы, так как прямого экспериментального доказательства точного влияния этих геометрических особенностей просто не существует. Таким образом, физика процесса разрушения в композитах остается такой же тайной, как в однородных материалах, и наше понимание разрушения сильно зависит от информации, полученной из эксперимента Следовательно, моделирование с помощью теории эффективного модуля дает приближенные, а не точные, результаты, для которых требуется экспериментальное подтверждение. [c.12] Упругие характеристики различных композитных материалов, рассматриваемые в примерах данной главы, приведены в табл. 1.1. Не все представленные в ней данные определены экспериментально (часть из них получена расчетом), однако все они использовались при проведении аналитических исследований, изложенных в данной главе. [c.13] Определяющие уравнения образуют систему эллиптических связанных уравнений второго порядка в частных производных. [c.16] Эту систему можно решить методом конечных разностей, который эффективен при получении численных решений эллиптических уравнений в частных производных [4]. При использовании этого метода область непрерывного материала заменяется системой дискретных точек, где должны определяться дискретные значения зависимых переменных задачи. Уравнения в частных производных выражаются в каждой точке материала в пределах выбранной области в виде алгебраических уравнений, в которых частные производные аппроксимируются конечно-разностными операторами. В работе [3] для точек материала внутри выбранной области использовались центральноразностные операторы, тогда как для точек, попадаюших на границы области, применялись восходящие и нисходящие разностные операторы. Когда уравнения в частных производных и граничные условия записаны в приближенной форме, как конечно-разностные уравнения, получается линейная неоднородная система алгебраических уравнений, число которых равно произведению числа точек материала в выбранной области и числа зависимых переменных. Записывая в память ЭВМ только те элементы матрицы коэффициентов системы, которые попадают в пределы полуширины ненулевых коэффициентов, можно использовать метод исключения Гаусса для решения системы алгебраических уравнений с максимальной экономией памяти ЭВМ. Типичные матрицы коэффициентов размером 1200 х 1200 с полушириной порядка 60—80 решались на компьютере IBM 360-65 в 1969 г. при мерно за 2 мин. [c.16] Благодаря условиям симметрии расчетная область материала сводится к одному квадранту поперечного сечения слоистого композита в плоскости у Z (рис. 1.2). Непрерывная область заменяется прямоугольной сеткой точек материала с постоянным шагом в обоих направлениях. Условия непрерывности на поверхностях раздела при Z = Ло которые требуют непрерывности функций и, v, w, и аппроксимируются при выборе положения поверхности раздела посередине между двумя рядами точек материала. [c.16] Наконец, требуют обсуждения специальные условия в углах У = Ь, Z = Л. Хотя имеется пять условий свободы от напряжений (а = xz yz только три из них можно задать, поскольку два оставшихся являются избыточными в данной постановке. Численные результаты показали, что решение малочувствительно к тому, какие именно три таких условия заданы в угловой точке. [c.17] Осевое напряжение также точно рассчитывается по классической теории слоев для й 0,5, несмотря на небольшое снижение ве-л ины напряжения на свободной KpoivtKe. Три компоненты напряжения Оу и а ) очень малы. Наконец, межслойное касательное напряжение становится сингулярным на свободной кромке и уменьшается практически до нуля при у/Ь = 0,5. Хотя численным методом невозможно доказать существование сингулярности, в работе [5] показано, что она имеется. [c.18] Межслойное сдвиговое напряжение как функция угла ориентации волокон. [c.19] Важно отметить, что, хотя гаспределение напряжений в плоскости, рассчитанное по классической теории слоев, искажено из-за наличия напряжений т , и в областях вблизи свободной кромки слоистого композита, эти межслойиые компоненты напряжения быстро уменьшаются с удалением от свободной кромки. Действительно, численные результаты для слоистых композитов со значениями 4, 8 и 12 геометрического параметра b/h показывают, что ширина области возмущения не превышает толщины слоистого композита, т. е. 4Лд. Поэтому кромку можно рассматривать как пограничный слой, и кромочный эффект ограничивается областью вблизи свободной кромки, тогда как распределение напряжений во внутренних областях слоистого композита адекватно описывается с помощью классической теории слоев. [c.19] Численные результаты (зависимость межслойного касательного напряжения от угла ориентащш волокон) представлены на рис. 1.4. Ординаты этой кривой — соответствующие нормализованные значения напряжения в узловой точке на ближайшей поверхности раздела свободной кромки. Интересно отметить, что изменение знака этой величины происходит при угле в 60°. [c.19] Фойе и Бейкер [2] опубликовали данные об усталости слоистых эпоксидных боропластиков при растяжении, которые обнаружили поразительную зависимость от последовательности укладки слоев. Испытанные образцы представляли собой перекрестно армированные слоистые композиты со структурой [ 15°, 45° , в которых положения групп слоев 15° и 45° взаимозаменялись, в то время как симметрия относительно центральной плоскости композита всегда сохранялась. Эти данные представлены на рис. 1.6. Эксперимент показал, что образец из наименее прочного слоистого композита подвергся обширному расслоению, начавшемуся на свободных кромках. [c.21] Постулируется распределение показанное на рис. 1.8, где значение на кромке Jq может быть неограниченным. Записав условия равновесия для этого свободного тела, можно определить пару сил, вызванную напряжением и знак Oq, а также результирующие силы, обусловленные напряжениями и Например, рассмотрим эпоксидный слоистый боропластик со структурой [ 15°, 45°Jy, слои которого имеют равную толщину и характеризуются упругими коэффициентами Фойе и Бейкера, а именно материал III из табл. 1.1. Согласно решению по классической теории слоев для композита такой конфигурации в слоях 15° напряжение является растягиваюиош, а в слоях 45° — сжимающим. [c.23] Представляется, что существует несколько возможностей для оптимизации прочности слоистого композита путем изменения последовательности укладки слоев. Например, должна рассматриваться схема укладки, которая приводит к наименьшим значениям обоих результирующих межслойных сдвиговых усилий и в то же время позволяет избежать межслойного растяжения в зоне свободной кромки. Кроме того, должна рассматриваться схема, которая приводит к наибольшим межслойным сжимающим нaпpяжeния /, так как это позволило бы минимизировать вредное влияние касательных напряжений. Последняя ситуация реализуется в случае укладки слоев по схеме + 45°, -45°, + 15°, - 15°, в которой слои 45° могут меняться местами, так же как и слои 15°. Первая из перечисленных ситуаций возникает в случае укладки слоев по схеме +45°, -15°, +15°, -45°, показанной на рис. 1.10. [c.27] Оценки межслойных касательных напряжений могут быть получены с такой же степенью приближения, но нет необходимости их рассматривать. Поэтому соответствующие соотношения здесь не приводятся. Выше обсужден подход для выбора схемы укладки слоев заданной ориентации по толщине композита, обеспечивающей его оптимальную защиту от расслоения. Следует отметить, что данная работа вместе с экспериментами Фойе и Бейкера указывает на то, что в зависимости от конкретного слоистого композита использование плоских образцов для усталостного испытания, а также, возможно, статического нагружения растяжением или сжатием может оказаться недопустимым. Причина состоит в том, что вследствие эффектов на свободных кромках желаемый тип разрушения может не реализоваться. Действительно, кромочные эффекты могут доминировать во всей истории разрушения слоистого композита. [c.28] Этот раздел посвящен разработке Пэйгано [9] модели для вычисления распределения межслойного нормального напряжения по Центральной плоскости слоистого композита со свободными кромками. Идеи и результаты, представленные здесь, оказались весьма ценными при разработке глобально-локальной модели, описывающей поведение слоистого композита. С помощью данной модели выполняется расчет 1/4 поперечного сечения слоистого композита как пластины. [c.28] Уравнения состояния для компонент межслойного касательного напряжения, выраженные через градиенты перемещений, показывают, что эти три граничных условия идентичны уравнениям (11) при г = 0. [c.29] В силу уравнения (28) оставшиеся граничные условия на свободных кромках (Ny(b) = N y(b) = 0) удовлетворяются тождественно с помощью первых двух уравнений для поля перемещений. [c.32] Кроме того, условия при z = h/2 объединяются с уравнениями поля (30). Таким образом необходимое решение следует из удовлетворения уравнений (30) и (31). [c.33] Вернуться к основной статье